2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нужно построить график
Сообщение15.03.2009, 13:20 


20/07/07
834
Народ, постройте, пожалуйста, график вот этой функции, а то все мои программы на нем обламываются:

$$f(x)=\int_1^x \frac{1}{a-t+t \ln t} \, dt$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2009, 13:28 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ещё б им не обламываться, коли этот интеграл равен бесконечности.

(вблизи единицы подинтегральная функция ведёт себя как ${2\over(t-1)^2}$)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2009, 13:38 


20/07/07
834
Исправил. На самом деле, там константа $a$, я ее для простоты взял равной 1, не подумав.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2009, 13:47 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Если $a>1$, то численное интегрирование вполне поможет. При $a<1$ тоже, но при не слишком больших иксах, а потом Вы всё равно нарвётесь на особую точку.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2009, 14:01 


20/07/07
834
$a$ находится из соотношения $\int_0^1 \frac{dt}{a-t+t \ln t}=1$

$$a\approx1.80274$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2009, 17:46 
Заблокирован


19/09/08

754
Вот графики при некоторых значениях а.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2009, 18:06 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Nxx писал(а):
$a$ находится из соотношения $\int_0^1 \frac{dt}{a-t+t \ln t}=1$

$$a\approx1.80274$$

Ну посколько интегралы не берутся, введите две функции:

$$F(a)=\int_0^1{dt\over a-t+t\,\ln t}-1;$$
$$F'(a)=-\int_0^1{dt\over (a-t+t\,\ln t)^2}$$

И ищите $a$ стандартно методом Ньютона как предел последовательности $$a_{n+1}=a_n-{F(a_n)\over F'(a_n)}.$$ Функция выпукла, так что последовательность мгновенно сойдётся (за где-нибудь пять-шесть итераций), если удачно выбрать начальное приближение. Оно должно быть достаточно близким к единице, но всё же не слишком близким, иначе объём вычислений увеличится раза в два или (жутко даже сказать) в три. Скорее всего, $a_0=1.5$ вполне подойдёт.

Другое дело, что пакет может обидеться на попытку заставить его считать эти интегралы, поскольку логарифм в нуле всё-таки не определён. Тогда самый рабоче-крестьянский выход -- это попросту отойти маленько от нуля и интегрировать, скажем, начиная с точки $0.0001$; соответственно, и $a$ получится с точностью до четвёртого знака. Если захочется всё же большей точности -- ну тут могут быть разные варианты развития. Во всяком случае, уточнять имеет смысл только саму $F(a)$, а вот уточнение $F'(a)$ практического влияния на метод Ньютона не окажет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2009, 20:52 


20/07/07
834
Все, спасибо большое!

Эта функция - обратная к решению уравнения $$f(x)=\exp((\ln f'(x)')$$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group