Нужно построить график

[Nxx]

Народ, постройте, пожалуйста, график вот этой функции, а то все мои программы на нем обламываются:

$$f(x)=\int_1^x \frac{1}{a-t+t \ln t} \, dt$$

[ewert]

Ещё б им не обламываться, коли этот интеграл равен бесконечности.

(вблизи единицы подинтегральная функция ведёт себя как ${2\over(t-1)^2}$)

[Nxx]

Исправил. На самом деле, там константа $a$, я ее для простоты взял равной 1, не подумав.

[ewert]

Если $a>1$, то численное интегрирование вполне поможет. При $a<1$ тоже, но при не слишком больших иксах, а потом Вы всё равно нарвётесь на особую точку.

[Nxx]

$a$ находится из соотношения $\int_0^1 \frac{dt}{a-t+t \ln t}=1$

$$a\approx1.80274$$

[vvvv]

Вот графики при некоторых значениях а.

[ewert]

Nxx писал(а):

$a$ находится из соотношения $\int_0^1 \frac{dt}{a-t+t \ln t}=1$

$$a\approx1.80274$$

Ну посколько интегралы не берутся, введите две функции:

$$F(a)=\int_0^1{dt\over a-t+t\,\ln t}-1;$$

$$F'(a)=-\int_0^1{dt\over (a-t+t\,\ln t)^2}$$

И ищите $a$ стандартно методом Ньютона как предел последовательности

$$a_{n+1}=a_n-{F(a_n)\over F'(a_n)}.$$

Функция выпукла, так что последовательность мгновенно сойдётся (за где-нибудь пять-шесть итераций), если удачно выбрать начальное приближение. Оно должно быть достаточно близким к единице, но всё же не слишком близким, иначе объём вычислений увеличится раза в два или (жутко даже сказать) в три. Скорее всего, $a_0=1.5$ вполне подойдёт.

Другое дело, что пакет может обидеться на попытку заставить его считать эти интегралы, поскольку логарифм в нуле всё-таки не определён. Тогда самый рабоче-крестьянский выход -- это попросту отойти маленько от нуля и интегрировать, скажем, начиная с точки $0.0001$; соответственно, и $a$ получится с точностью до четвёртого знака. Если захочется всё же большей точности -- ну тут могут быть разные варианты развития. Во всяком случае, уточнять имеет смысл только саму $F(a)$, а вот уточнение $F'(a)$ практического влияния на метод Ньютона не окажет.

[Nxx]

Все, спасибо большое!

Эта функция - обратная к решению уравнения

$$f(x)=\exp((\ln f'(x)')$$

.