2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Сумма ряда
Сообщение14.03.2009, 20:59 
Аватара пользователя
Найти сумму ряда $$\sum_{k=1}^{\infty}{\frac {k}{2^k}}$$.
Вроде $2$ должно получиться, но не могу доказать.

 
 
 
 
Сообщение14.03.2009, 21:04 
Аватара пользователя
Есть 1001 способ посчитать эту сумму :)

А вообще помножьте на 2 и отнимите ее от себя, это, видимо, самый простой способ.

 
 
 
 
Сообщение14.03.2009, 21:24 
Аватара пользователя
Хорхе в сообщении #195042 писал(а):
А вообще помножьте на 2 и отнимите ее от себя, это, видимо, самый простой способ.

Это ничего не даёт.

 
 
 
 
Сообщение14.03.2009, 21:29 
и тем не менее, наиболее разумный способ -- такой:

$={1\over2}\left(\sum_{k=0}^{\infty} x^k\right)'\Big|_{x={1\over2}}=\dots$

 
 
 
 
Сообщение14.03.2009, 21:30 
AndreyXYZ писал(а):
Это ничего не даёт.
Забыли, наверное, у домноженной на 2 суммы:
1) занести 2 под знак суммы;
2) сдвинуть на единичку переменную суммирования.

 
 
 
 
Сообщение14.03.2009, 21:30 
Аватара пользователя
В области сходимости ст. ряда имеем: $\sum\limits_{k = 1}^\infty  {k \cdot x^k }  = x(\sum\limits_{k = 1}^\infty  {x^k } )'$

 
 
 
 
Сообщение14.03.2009, 23:23 
Аватара пользователя
AndreyXYZ писал(а):
Хорхе в сообщении #195042 писал(а):
А вообще помножьте на 2 и отнимите ее от себя, это, видимо, самый простой способ.

Это ничего не даёт.

Впрочем, Вы плохо старались, не правда ли?
$2\sum_{k\ge 1} k 2^{-k} = \sum_{k\ge 1} k 2^{1-k} = \sum_{k\ge 0} (k+1)2^{-k}$.

 
 
 
 
Сообщение15.03.2009, 11:26 
Аватара пользователя
Спасибо! Разобрался.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group