Сумма ряда

[AndreyXYZ]

Найти сумму ряда

$$\sum_{k=1}^{\infty}{\frac {k}{2^k}}$$

.
Вроде $2$ должно получиться, но не могу доказать.

[Хорхе]

Есть 1001 способ посчитать эту сумму

А вообще помножьте на 2 и отнимите ее от себя, это, видимо, самый простой способ.

[AndreyXYZ]

Хорхе в сообщении #195042 писал(а):

А вообще помножьте на 2 и отнимите ее от себя, это, видимо, самый простой способ.

Это ничего не даёт.

[ewert]

и тем не менее, наиболее разумный способ -- такой:

$={1\over2}\left(\sum_{k=0}^{\infty} x^k\right)'\Big|_{x={1\over2}}=\dots$

[Gordmit]

AndreyXYZ писал(а):

Это ничего не даёт.

Забыли, наверное, у домноженной на 2 суммы:
1) занести 2 под знак суммы;
2) сдвинуть на единичку переменную суммирования.

[Brukvalub]

В области сходимости ст. ряда имеем: $\sum\limits_{k = 1}^\infty {k \cdot x^k } = x(\sum\limits_{k = 1}^\infty {x^k } )'$

[Хорхе]

AndreyXYZ писал(а):

Хорхе в сообщении #195042 писал(а):

А вообще помножьте на 2 и отнимите ее от себя, это, видимо, самый простой способ.

Это ничего не даёт.

Впрочем, Вы плохо старались, не правда ли?
$2\sum_{k\ge 1} k 2^{-k} = \sum_{k\ge 1} k 2^{1-k} = \sum_{k\ge 0} (k+1)2^{-k}$.

[AndreyXYZ]

Спасибо! Разобрался.