2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Вопрос о делимости чисел: p^5-p делится на 5
Сообщение05.04.2006, 02:19 
Такой вопрос: как элегантней доказать, что \[p^5  - p\] делится на 5 при любом натуральном значении p? Можно, конечно, взять калькулятор в попытке отыскать некую закономерность и возводить числа в пятую степень. И закономерность действительно есть - любое p в пятой степени минус самое себя даст число, оканчивающееся нулём, что и будет его признаком делимости на пять. Но, думаю, не совсем уместно использовать такой аргумент в доказательстве, поэтому хотелось бы отыскать что-либо по-элегантней. Сердечно благодарю.

 
 
 
 
Сообщение05.04.2006, 03:04 
Аватара пользователя
:evil:
Сие есть малая теорема Ферма -- для любого $a$, не делящегося на простое $p$ (в нашем случае 5) $a^{p-1}-1$ делится на p. Соответсвенно, умножение на $a$ не ухудшает этот факт, и лхватывает случай когда $a$ делится на $p$. Итого, $a^{p}-a$ делится на $p$ всегда.

 
 
 
 
Сообщение05.04.2006, 03:37 
Да, действительно, изящно доказано.
А если предположить, что нам неизвестна малая теорема Ферма. Как доказать, исходя только из свойств самих чисел?

 
 
 
 
Сообщение05.04.2006, 03:46 
Аватара пользователя
:evil:
По модулю 5 есть всего 5 остатков. Проверить их.

Доказать малую теорему Ферма -- тоже не фокус.

Можно подумать, как доказать в лоб... Ну, например $p^5-p = $ $p(p-1)(p+1)(p-2)(p+2) + 5p(p^2-1)$. Первое слагаемое делится на 5, поскольку это 5 подряд идущих чисел, второе -- тоже.

 
 
 
 
Сообщение05.04.2006, 05:00 
Незванный гость, благодарствую за доказательво в лоб. Оно себя оправдывает.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group