Проблемы с краевой задачей.

[Einar (Egner)]

Привет всем! Хочу проконсультироваться вот по какому вопросу: Я занимаюсь описанием движения некого тела, математической моделью которого является система из 2-х однородных дифференциальных уравнений. Неизвестные функции в ней: y(t) и y'(t) (координата и скорость). y(t) y'(t) – убывает. Заданы 0-е начальные условия и краевые условия: значение конечной координаты y = 1 и конечной скорости y’ = 0, но момент времени, в который достигаются данные краевые условия – неизвестен (то есть неизвестна правая граница интервала решения). В данной системе фигурирует некоторый постоянный коэффициент “k”, от которого зависит её решение. Он обеспечивает выполнение заданных краевых условий в определённый момент t. Так вот, этот самый коэффициент k - и требуется определить в моей задаче. Что это за тип задач, какие известные методы и численные алгоритмы используются для их решения?! Можете ли подсказать что-нибудь?!

[worm2]

Понятно, что $t$ как-то зависит от $k$. Тогда задача может быть поставлена так: найти в некотором смысле оптимальное $k$ (например, такое, при котором $t$ получается минимально возможное). Похоже на задачу оптимального управления.

Или ещё вариант. Если возможен только дискретный набор значений $k$, для которых такое возможно, то это похоже на задачу отыскания спектра.

[V.V.]

Смотрите численные методы для задач оптимального управления. Там один из самых популярных сюжетов - задачи на быстродействие, т.е., когда надо попасть за минимальное время (которое нам неизвестно) в некоторую точку.

[Einar (Egner)]

Спасибо! Но, маленькое уточнение: у меня t – независимая переменная. Параметр k – должен иметь единственное значение от 0 до 1. Мне не нужно оптимизировать по t, а нужно правильно определить значение k, такое, чтобы для какого-то значения t скорость и координата приняли заданные значения.

[AD]

Ну вроде бы проще всего сначала для каждого $k$ научиться определять время движения $T$ (решая дифур при каждом обращении; пусть численно; загнать в подпрограмму), и получить таким образом зависимость $T(k)$, а потом делать с ней все, что угодно, как с обычной приближенно заданной функцией - решать уравнения $T(k)=T_0$, минимизировать, ...