Неравенство для нормы абсолютно-непрерывной функции

[smz]

Привет!
У меня следующий вопрос.
Обозначим $W_2(0,1)$ множество всех абсолютно-непрерывных функций $x:(0,1)\to R^n$ с производной класса $L_2(0,1)$. Пусть $\|x\|:=\int_0^1(x(t),x(t))dt$, $\|x\|_1:=(x(0),x(0))+\int_0^1(\dot x(t),\dot x(t))dt$.

Правильно ли что

$$ \sup\{\frac{\|x\|}{\|x\|_1},x\in W_2(0,1),x\ne0\}<+\infty $$

[ewert]

"Сударыня,Вас обманули -- Вам дали гораздо лучший мех!" $\copyright$

$$|x(t)|^2=\left|x(0)+\int_0^tx(s)\,ds\right|^2\leqslant2|x(0)|^2+2\left|\int_0^tx'(s)\,ds\right|^2\leqslant2|x(0)|^2+2\int_0^t|x'(s)|^2ds\cdot\int_0^t1^2\,ds\leqslant2\left(|x(0)|^2+\int_0^1|x'(s)|^2ds\right).$$

Так что Ваше утверждение верно, даже если под "$\|x\|$" понимать $\max\limits_{t\in[0;1]}|x(t)|^2$, а уж для $L_2$-"нормы" и подавно.

А ещё очень полезно понимать, что квадраты норм нехорошо обозначать как $\|\cdot\|$.

[smz]