Вопрос по аксиоматике математического анализа и вещ. чисел

[gegela]

Вопрос следующий: существует ли такой строгий набор аксиом в мат. анализе, как в геометрии(в Началах Евклида)? Если есть не посоветуете ли книгу, где все это изложено.
И второй вопрос: число (натуральное или вещественное) - это первичное понятие?
И еще один: в книгах видел такое определение: вещ. числа - это такие числа которые соответствуют законам - 1)a+b=b+a 2) a+(b+c) = (a+b)+с и т.д. ... - это правильный подход в смысле кроме чисел ничего не подходит под это определение?
Спасибо за ответ

[ewert]

gegela в сообщении #193375 писал(а):

в книгах видел такое определение: вещ. числа - это такие числа которые соответствуют законам - 1)a+b=b+a 2) a+(b+c) = (a+b)+с и т.д. ... - это правильный подход в смысле кроме чисел ничего не подходит под это определение?

Это -- правильный подход в следующем смысле: если какое-то другое множество удовлетворяет тем же аксиомам, то между элементами этого множества и вещественными числами существует взаимно однозначное соответствие (причём единственное), при котором сохраняются арифметические операции и отношение порядка. И, следовательно, это множество ничем математически не отличимо от множества вещественных числел.

[gegela]

А книгу никто не может посоветовать в стиле Начал, но по вещественным числам?

[Профессор Снэйп]

Первичное понятие --- это множество, все остальныя понятия строятся из него.

[AD]

После того, как Вы освоитесь с теорией множеств (аксиоматика ZFC, итп), всегда можно взять любой достаточно современный учебник матанализа - и Вам будет всё формально-понятно. В принципе, любой (достаточно современный и для математиков) учебник матана и есть "типа Начал". Зорич, скажем. Но там не все полностью формально (как и в "Началах", кстати).

В то же время, теория множеств "сама по себе" достаточно сложна, и, наверное, имеет смысл начать с изучения матана, как это делают все нормальные люди.

А действительные числа без теории множеств все равно вряд ли получатся. Ведь изначально определяется, что множество действительных чисел - это множество. И вообще без его подмножеств и всяких декартовых произведений скучно будет.

_________________

gegela в сообщении #193375 писал(а):

И еще один: в книгах видел такое определение: вещ. числа - это такие числа которые соответствуют законам - 1)a+b=b+a 2) a+(b+c) = (a+b)+с и т.д. ... - это правильный подход в смысле кроме чисел ничего не подходит под это определение?

ewert в сообщении #193380 писал(а):

Это -- правильный подход в следующем смысле: если какое-то другое множество удовлетворяет тем же аксиомам, то между элементами этого множества и вещественными числами существует взаимно однозначное соответствие (причём единственное), при котором сохраняются арифметические операции и отношение порядка. И, следовательно, это множество ничем математически не отличимо от множества вещественных числел.

Да, но вообще-то, по-хорошему, надо еще доказать, что хоть одно такое множество существует, и для этого придумывают разные "модели действительных чисел в теории множеств", скажем, "дедекиндовы сечения", итп.

Добавлено спустя 52 секунды:

Ужас, как мне еще не надоело повторять такие банальности?

[ewert]

AD в сообщении #193527 писал(а):

Да, но вообще-то, по-хорошему, надо еще доказать, что хоть одно такое множество существует, и для этого придумывают разные "модели действительных чисел в теории множеств", скажем, "дедекиндовы сечения", итп.

Увы, нужно, и по ещё более хорошему на этом следовало бы и остановиться и не заморачивать себе голову ещё и аксиоматическими определениями числовых множеств.

[geomath]

У меня два вопроса.

1. Что такое по-вашему "современный курс математического анализа"? Если не можете ответить, но вопрос попроще. В свое время именно так позиционировались книга Уолтера Рудина "Основы математического анализа". А теперь она устарела?

2. Как сегодня обстоят дела с преподаванием математического анализа на основе представлений об актуальных бесконечно малых и бесконечно больших числах, полное обоснование которых "довольно сложно и опирается на конструкции математической логиги"? В свое время некоторые считали, что за этим подходом будущее. А теперь?

[AD]

geomath в сообщении #193564 писал(а):

Что такое по-вашему "современный курс математического анализа"?

В котором изложение опирается на теорию множеств (пусть и "наивную", Канторову), в котором все определения даются строго, на языке $\varepsilon$-$\delta$, и присутствуют все доказательства строго в соответствии с этими определениями.

geomath в сообщении #193564 писал(а):

Как сегодня обстоят дела с преподаванием математического анализа на основе представлений об актуальных бесконечно малых и бесконечно больших числах

Насколько мне известно, никак.

Добавлено спустя 46 секунд:

Рудина не читал, ничего не могу сказать.

Добавлено спустя 1 минуту 8 секунд:

ewert в сообщении #193551 писал(а):

Увы, нужно, и по ещё более хорошему на этом следовало бы и остановиться и не заморачивать себе голову ещё и аксиоматическими определениями числовых множеств.

Чем больше определений - тем лучше. IMHO наличие кучи непохожих, но эквивалентных определений - это признак естественности понятия.

[ewert]

geomath в сообщении #193564 писал(а):

Как сегодня обстоят дела с преподаванием математического анализа на основе представлений об актуальных бесконечно малых и бесконечно больших числах, полное обоснование которых "довольно сложно и опирается на конструкции математической логиги"? В свое время некоторые считали, что за этим подходом будущее.

"Некоторые" -- это лишь сами энтузиасты этого дела. Подход выглядит совершенно бесперспективным за негибкостью.

[naiv1]

AD в сообщении #193527 писал(а):

надо еще доказать, что хоть одно такое множество существует

Не могли бы пояснить, в каком смысле множество существует и, вообще, что значит "существует" в математике?

[AD]

Вообще, я не очень в этом разбираюсь, и поэтому могу тут наврать где-то.

naiv1 в сообщении #194275 писал(а):

что значит "существует" в математике?

Если на пальцах (то есть как раз на уровне моего понимания), то в матлогике есть такая штука - называется "исчисление предикатов" (см. википедию). Ну языков предикатов много разных бывает, но по определению во всех в них должны быть, в частности, такие буковки - $\forall$ и $\exists$ (читается: "для любого ... верно, что" и "существует ... такой, что"). Это просто буковки, с которыми можно работать по определенным правилам (скажем, $\forall x(\neg P(x))\Leftrightarrow\neg(\exists x:(P(x)))$ - то есть сказать, что высказывание неверно для всех $x$ - это все равно, что сказать, что нет $x$, для которого оно верно).

naiv1 в сообщении #194275 писал(а):

в каком смысле множество существует

Так вот, а теория множеств (в частности, аксиоматика Цермело-Френкеля) изначально вводится как язык предикатов. В частности, в высказывания про множества тоже можно включать символы $\forall$ и $\exists$. И фраза "множество $X$, такое, что $P(X)$, существует" означает, что высказывание $\exists X: P(X)$ истинно в аксиоматике ZFC.

[astro_lib]

gegela в сообщении #193375 писал(а):

Вопрос следующий: существует ли такой строгий набор аксиом в мат. анализе, как в геометрии(в Началах Евклида)? Если есть не посоветуете ли книгу, где все это изложено.
И второй вопрос: число (натуральное или вещественное) - это первичное понятие?
И еще один: в книгах видел такое определение: вещ. числа - это такие числа которые соответствуют законам - 1)a+b=b+a 2) a+(b+c) = (a+b)+с и т.д. ... - это правильный подход в смысле кроме чисел ничего не подходит под это определение?
Спасибо за ответ

1.Эдмунд Ландау. Основы анализа. Действия над целыми, рациональными, иррациональными, комплексными числами. Дополнение к учебникам по дифференциальному и интегральному исчислению. Перевод с немецкого Д.А.Райкова. Москва, Издательство иностранной литературы, 1947 г.
2.Энциклопедия элементарной математики. Под ред. П.С.Александрова, А.И.Маркушевича и А.Я.Хинчина. Книга первая. Арифметика. Государственное издательство технико-теоретической литературы. Москва 1951 Ленинград