Кривизна в неголономной системе. Вопрос.

[patsak]

В книге "Тензорный анализ для физиков." Схоутен Я. А. приводится следующее выражение для тензора кривизны в неголономных координатах (стр. 151):

$${R}_{kji}^{ }^{h}=2\partial_{[k}{\Gamma}_{j]i}^{h}+2{\Gamma}_{[k|l|}^{h}{\Gamma}_{j]i}^{l}+2{\Omega}_{kj}^{l}{\Gamma}_{li}^{h}$$

Аналогичное выражение есть и в книге "Обобщенные преобразования Лоренца и их применение." Иваницкая О. С. (стр. 49)
Меня интересует как получаются эти соотношения? Пробовал повторить вывод по второму источнику, но последнее слагаемое не совпадает.
Хотелось бы увидеть вывод этих соотношений или ссылку где он есть. Спасибо.

[Утундрий]

Цитированных книг не читал, но выражение напоминает кривизну для несимметричной связности (связности с кручением еще говорят). Получается тупым вычислением коммутатора ковариантных производных.

[Munin]

Возникает ощущение, что вывод должен быть в учебниках по дифгему, например, в курсе лекций Постникова.

[Утундрий]

Ну, логика "доказательства" может быть примерно такой:

\[w^\alpha _{;\mu } \equiv w^\alpha _{,\mu } + \Gamma _{\beta \mu }^\alpha w^\beta \]

нам хотелось бы иметь такую ковариантную производную, чтобы было

\[\left( {w^\alpha u_\alpha } \right)_{;\mu } \equiv w^\alpha _{;\mu } u_\alpha + w^\alpha u_\alpha _{;\mu } \]

с другой стороны, очевидно, что

\[\left( {w^\alpha u_\alpha } \right)_{;\mu } \equiv \left( {w^\alpha u_\alpha } \right)_{,\mu } \]

потому как свободных индексов нет и сворачивать "гамму" не с кем )
из двух последних определений вытекает следствие

\[0 = w^\alpha _{;\mu } u_\alpha + w^\alpha u_\alpha _{;\mu } - w^\alpha _{,\mu } u_\alpha - w^\alpha u_\alpha _{,\mu } = \Gamma _{\beta \mu }^\alpha w^\beta u_\alpha + w^\alpha \left( {u_\alpha _{;\mu } - u_\alpha _{,\mu } } \right) = w^\alpha \left( {u_\alpha _{;\mu } - u_\alpha _{,\mu } + \Gamma _{\alpha \mu }^\beta u_\beta } \right)\]

а так как сие должно быть справедливо $\[\forall w^\alpha \]$, то

\[u_\alpha _{;\mu } = u_\alpha _{,\mu } - \Gamma _{\alpha \mu }^\beta u_\beta \]

следствие вытекло.

Рассмотрим теперь следующие выражения

\[ u_\alpha _{;\mu \nu } = u_\alpha _{;\mu ,\nu } - \Gamma _{\alpha \nu }^\beta u_{\beta ;\mu } - \Gamma _{\mu \nu }^\beta u_{\alpha ;\beta } = u_\alpha _{,\mu \nu } - \Gamma _{\alpha \mu ,\nu }^\beta u_\beta - \Gamma _{\alpha \mu }^\beta u_{\beta ,\nu } - \Gamma _{\alpha \nu }^\beta \left( {u_\beta _{,\mu } - \Gamma _{\beta \mu }^\gamma u_\gamma } \right) - \Gamma _{\mu \nu }^\beta u_{\alpha ;\beta } \]

\[ u_\alpha _{;\mu \nu } = \left( - {\Gamma _{\alpha \mu ,\nu }^\beta + \Gamma _{\alpha \nu }^\gamma \Gamma _{\gamma \mu }^\beta } \right)u_\beta - \Gamma _{\mu \nu }^\beta u_{\alpha ;\beta } + \]

(симметричные по $\mu \nu $ члены)

\[ u_\alpha _{;\mu \nu } - u_\alpha _{;\nu \mu } = 2\left( {\Gamma _{\alpha [\nu ,\mu ]}^\beta + \Gamma _{\alpha [\nu }^\gamma \Gamma _{\left| \gamma \right|\mu ]}^\beta } \right)u_\beta - 2\Gamma _{[\mu \nu ]}^\beta u_{\alpha ;\beta } \]

Ну вот. То, что при $\[u_\beta \]$ в правой части, это он самый и есть, тензор Римана-Кристоффеля. Причем это таки тензор!

А вот, чтобы получилось выражение, которое привел patsak нужно расписать во втором слагаемом ковариантную производную
и добавить к тензору Римана-Кристоффеля слагаемое, линейное по $\[u_\beta \]$. То есть вот так

\[ u_\alpha _{;\mu \nu } - u_\alpha _{;\nu \mu } = 2\left( {\Gamma _{\alpha [\nu ,\mu ]}^\beta + \Gamma _{\alpha [\nu }^\gamma \Gamma _{\left| \gamma \right|\mu ]}^\beta + \Gamma _{[\nu \mu ]}^\gamma \Gamma _{\alpha \gamma }^\beta } \right)u_\beta - 2\Gamma _{[\mu \nu ]}^\beta u_{\alpha ,\beta } \]

Видимо Схоутен Я. А. понимает под тензором кривизны именно такое выражение. И то, что это мягко говоря ни разу ни тензор его мало смущает...

patsak, советую Вам зафутболить вышеупомянутый "Тензорный анализ для физиков" прямиком в корзину.