Не могу разобраться с обобщенной функцией.

[Germetic]

Решал задачу из сборника Кудрявцева. Каким образом ввести линейный функционал для функции $y=\ln|x|$? Вроде бы можно как и для функции, определенной на всей действительной оси: $ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \ln|x|\varphi(x)\,dx.$. Кажется этот функционал будет и линейным и непрерывным, но если мы возьмем производную, то соответствующий интеграл разойдется. Получается противоречие - любая обобщенная функция должна иметь производную. В нашем случае она будет иметь производную, только если функционал будет определяться как главное значение интеграла: $ v.p. \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \ln|x|\varphi(x)\,dx.$. Вот кстати выкладки для нахождения производной в этом случае:

$$ (\ln'|x|,\varphi(x))= -(\ln|x|,\varphi'(x))=-v.p. \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \ln|x|\varphi'(x)\,dx= $$ $$ = -v.p. \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \ln|x|\,d\varphi(x)= - \lim_{\varepsilon\to +0}\left(\ln x \varphi(x) |_{\varepsilon}^{+\infty}+\ln (-x) \varphi(x) |^{-\varepsilon}_{-\infty}- \int\limits_{\varepsilon}^{+\infty} \frac{\varphi(x)}{x}\,dx-\int\limits^{-\varepsilon}_{-\infty} \frac{\varphi(x)}{x}\,dx\right)= $$ $$ =v.p.\int\limits^{+\infty}_{-\infty} \frac{\varphi(x)}{x}\,dx =\mathcal{P}\left(\frac 1x\right). $$

Заранее благодарен.
Как вам кстати мой $\LaTeXe$?

[Gafield]

Germetic писал(а):

Решал задачу из сборника Кудрявцева. Каким образом ввести линейный функционал для функции $y=\ln|x|$? Вроде бы можно как и для функции, определенной на всей действительной оси: $ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \ln|x|\varphi(x)\,dx.$.

Так и определять. Производная, по определению, равна $(\ln'|x|,\varphi(x))= -(\ln|x|,\varphi'(x))$. Аналогично для производных любого порядка. Другое дело, что поскольку эти производные не принадлежат локально $L_1$ в окрестности нуля, то просто итнтегрировать по частям и писать

$$(\ln|x|',\varphi(x))=\int_{-\infty}^{+\infty} \ln|x|'\varphi(x)\,dx$$

нельзя.

[AD]

Germetic в сообщении #192903 писал(а):

Получается противоречие - любая обобщенная функция должна иметь производную.

Но никто не обещает, что производная всегда будет регулярной функцией, и Вы только что даже привели пример, вот и всё. Да, у Вас все правильно - производная этой штуки и есть главное значение. Вполне себе производная, противоречия нету.

[ASA]

Какое пространство основных функций (функций $\varphi(\cdot)$)? Если это пространство (бесконечно) дифференцируемых функций с конечным носителем, что в большинстве случаев подразумевается, то с интегралом все в порядке, т.к. для достаточно больших $|x|$ $\varphi(\pm x)=0$ и $\varphi'(\pm x)=0$.

[Germetic]

ASA
Да, рассматривается конечно такое пространство $D$. А вот с интегралом не все в порядке, ниже надеюсь показать.
AD
Речь шла конечно об обобщенных функциях. Наверное не совсем точно изъяснился в первом посте, ниже поясню мысль.

Вот и пояснение:
Пусть мы задали линейный непрерывный(вот тут небольшие сомнения) функционал следующим образом

$$ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \ln|x|\varphi(x)\,dx.$$

Возьмем производную:

$$ (\ln'|x|,\varphi(x))= -(\ln|x|,\varphi'(x))=- \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \ln|x|\varphi'(x)\,dx= $$ $$ = - \lim_{\varepsilon,\delta\to +0}\left(\ln x \varphi(x) |_{\varepsilon}^{+\infty}+\ln (-x) \varphi(x) |^{-\delta}_{-\infty}- \int\limits_{\varepsilon}^{+\infty} \frac{\varphi(x)}{x}\,dx-\int\limits^{-\delta}_{-\infty} \frac{\varphi(x)}{x}\,dx\right)=? $$

Т.е. при вычислении производной мы получили четыре несходящихся предела. Производной в этом случае не существует. Где я ошибаюсь? Во всяком случае, так просто в середине выкладок заявить, что вот с этого места мы несобственный интеграл понимаем в смысле главного значения наверное будет легкомысленно.

[AD]

Germetic в сообщении #193133 писал(а):

Где я ошибаюсь?

Еще раз объясняю, в предпоследнем равенстве.

$$(\phi,\psi)=\int\limits_{-\infty}^\infty \phi(x)\psi(x)\,dx$$

- это всего лишь другое обозначение того же самого, а не настоящий интеграл.

[xaxa3217]

Действительно, не надо забывать, что обобщенная функция всего лишь линейный функционал на нужном пространстве. Вроде у Рудина путаница исчезает с введением обозначения функционала порожденного функцией $f$ $<\Lambda_f,\psi>:=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\psi(x)dx$.Производная любой обобщенной функции существует точно по определению и тому, что операция дифференцирования финитной функции замкнута в $D$. Сложность в том, чтобы производную представить в виде функционала $<\Lambda_{f'}, \psi>$, тут проще заходить с конца: интегрировать в смысле главного значения по Земным правилам, а потом уже говорить, что полученный интеграл в смысле главного значения действует на $D$ аналогично $-<\Lambda,\psi'>$.

[nckg]

мне кажется что тут "противоречие" такого вида:

$$0=n - n = \lim_{n\to\infty}n - \lim_{n\to\infty}n$$

,
где второе равенство не имеет смысла поскольку (конечный) предел $\lim_{n\to\infty}n$ не существует.

[Germetic]

AD писал(а):

Germetic в сообщении #193133 писал(а):

Где я ошибаюсь?

Еще раз объясняю, в предпоследнем равенстве.

$$(\phi,\psi)=\int\limits_{-\infty}^\infty \phi(x)\psi(x)\,dx$$

- это всего лишь другое обозначение того же самого, а не настоящий интеграл.

Извините, не понял совершенно термин "ненастоящий интеграл". Если обобщенная функция порождена локально интегрируемой, определенной на всей действительной оси функцией, то интеграл самый настоящий, даже и не несобственный (в связи с финитностью основных функций). Логарифм модуля, хоть и локально интегрируемая функция, но в нуле не определена, и тут возникает вопрос, мы должны использовать обычный несобственный интеграл или несобственный интеграл в смысле главного значения. Как я показал, в первом случае возникает противоречие.

[ewert]

Germetic в сообщении #193492 писал(а):

Извините, не понял совершенно термин "ненастоящий интеграл".

Говоря абстрактно, обобщённая функция -- это никакая не функция, а функционал на пространстве пробных функций. Который принято записывать в виде интеграла просто по аналогии со случаем, когда такой функционал задаётся локально суммируемой функцией, которая при этом отождествляется с соотв. обобщённой (а не порождается ею, есть тут некоторая непоследовательность в терминологии).

Производная обобщённой функции существует всегда и определяется тождеством $(f',\varphi)\equiv-(f,\varphi')$ -- опять же по аналогии с формулой интегрирования по частям, и не более того.

Другой вопрос -- насколько конструктивно удастся описать полученный функционал. Если исходная $f$ локально суммируема и имеет только одну особую точку, то результат описывается как предел суммы двух интегралов плюс внеинтегральных членов, причём каждое из четырёх слагаемых само по себе расходится (хотя их сумма сходится). Для функции $f$ общего вида ничего больше и не скажешь. Но если $f$ обладает определённой симметрией относительно особой точки, то при удачном согласовании пределов интегрирования (окружающих особую точку) внеинтегральные слагаемые в пределе сокращаются. Если (как в случае с логарифмом модуля) $f$ является чётной, то для их сокращения нужно брать отступы влево/вправо от особой точки одинаковыми (мы ведь в принципе-то можем брать их какими угодно) -- вот и остаётся только главное значение интеграла.

[AD]

Germetic в сообщении #193492 писал(а):

Если обобщенная функция порождена локально интегрируемой, определенной на всей действительной оси функцией, то интеграл самый настоящий, даже и не несобственный

Но это не значит, что у производной он тоже будет "самым настоящим".

Добавлено спустя 1 минуту 8 секунд:

Germetic в сообщении #193492 писал(а):

Извините, не понял совершенно термин "ненастоящий интеграл".

$\int\limits_{-\infty}^\infty\delta(x)f(x)\,dx$ - это не интеграл Римана или Лебега или кого-нибудь еще в каком-нибудь смысле, а просто другое обозначение для $f(0)$, кому-то показавшееся удобным.

[nckg]

Попробую пояснить свою мысль

Germetic в сообщении #193133 писал(а):

$$ (\ln'|x|,\varphi(x))= -(\ln|x|,\varphi'(x))=- \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \ln|x|\varphi'(x)\,dx= $$

$$ = - \lim_{\varepsilon,\delta\to +0}\left(\ln x \varphi(x) |_{\varepsilon}^{+\infty}+\ln (-x) \varphi(x) |^{-\delta}_{-\infty}- \int\limits_{\varepsilon}^{+\infty} \frac{\varphi(x)}{x}\,dx-\int\limits^{-\delta}_{-\infty} \frac{\varphi(x)}{x}\,dx\right)=? $$

Это правильно:

$$ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \ln|x|\varphi'(x)\,dx}=\lim_{\varepsilon,\delta\to +0}\left(\int\limits_{-\infty}^{-\delta} \ln|x|\varphi'(x)\,dx}+\int\limits_{\varepsilon}^{+\infty} \ln|x|\varphi'(x)\,dx}\right)$$

А вот это - нет:

$$\lim_{\varepsilon,\delta\to +0}\left(\int\limits_{-\infty}^{-\delta} \ln|x|\varphi'(x)\,dx}+\int\limits_{\varepsilon}^{+\infty} \ln|x|\varphi'(x)\,dx}\right)=\lim_{\varepsilon,\delta\to +0}\left(\ln x \varphi(x) |_{\varepsilon}^{+\infty}+\ln (-x) \varphi(x) |^{-\delta}_{-\infty}- \int\limits_{\varepsilon}^{+\infty} \frac{\varphi(x)}{x}\,dx-\int\limits^{-\delta}_{-\infty} \frac{\varphi(x)}{x}\,dx\right)$$

[ewert]

nckg в сообщении #193578 писал(а):

Это правильно:

А вот это - нет:

Не так. Фактически правильно и то, и другое, просто второе бесполезно.

[nckg]

да, нехорошо сказал. Тогда лучше скажем так:

$$\lim_{\varepsilon\to+0}\int_\varepsilon^{+\infty}\ln x\, \varphi'(x)\,dx=\lim_{\varepsilon\to+0}\left(\ln x\, \varphi(x) |_{\varepsilon}^{+\infty}- \int\limits_{\varepsilon}^{+\infty} \frac{\varphi(x)}{x}\,dx\right)\neq\lim_{\varepsilon\to +0}\ln x\, \varphi(x) |_{\varepsilon}^{+\infty}- \lim_{\varepsilon\to +0}\int\limits_{\varepsilon}^{+\infty} \frac{\varphi(x)}{x}\,dx\right)$$

[Germetic]

Большое спасибо nckq за подсказку. Функции $\ln |x|$можно поставить в соответствие
обобщенную функцию посредством обычного несобственного интеграла

$$v.p. \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \ln|x|\varphi(x)\,dx.$$

В выкладках по нахождению производных никаких спонтанных переходов от одного вида интеграла к другому не будет:

$$ (\ln'|x|,\varphi(x))= -(\ln|x|,\varphi'(x))=- \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \ln|x|\varphi'(x)\,dx= $$ $$ = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \ln|x|\,d\varphi(x)= - \lim_{\varepsilon,\delta\to +0}\left(\ln x \varphi(x) |_{\varepsilon}^{+\infty}+\ln (-x) \varphi(x) |^{-\delta}_{-\infty}- \int\limits_{\varepsilon}^{+\infty} \frac{\varphi(x)}{x}\,dx-\int\limits^{-\delta}_{-\infty} \frac{\varphi(x)}{x}\,dx\right)= $$ $$ =- \lim_{\varepsilon,\delta\to +0}\left(\ln x \varphi(x) |_{\varepsilon}^{+\infty}+\ln (-x) \varphi(x) |^{-\delta}_{-\infty}- \int\limits_{A}^{+\infty} \frac{\varphi(x)}{x}\,dx-\int\limits^{-B}_{-\infty} \frac{\varphi(x)}{x}\,dx-\right. $$ $$ \left.-\int\limits_{\varepsilon}^{A} \frac{\varphi(x)}{x}\,dx-\int\limits_{-B}^{-\delta} \frac{\varphi(x)}{x}\,dx\right) =\left/\int\limits_{\varepsilon}^{A} \frac{\varphi(x)}{x}\,dx=\int\limits_{\varepsilon}^{A} \frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}\,dx+\int\limits_{\varepsilon}^{A} \frac{\varphi(0)}{x}\,dx = \right. $$ $$ =\left.\int\limits_{\varepsilon}^{A} \frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}\,dx+\varphi(0)\ln (x)|_\varepsilon^A\right/= $$ $$ = \int\limits_{A}^{+\infty} \frac{\varphi(x)}{x}\,dx+\int\limits^{-B}_{-\infty} \frac{\varphi(x)}{x}\,dx+ \int\limits^{A}_{-B} \frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}\,dx+\varphi(0)(\ln A-\ln(- B))= $$ $$ =\int\limits_{A}^{+\infty} \frac{\varphi(x)}{x}\,dx+\int\limits^{-B}_{-\infty} \frac{\varphi(x)}{x}\,dx+ v.p.\int\limits^{A}_{-B} \frac{\varphi(x)}{x}\,dx =v.p. \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\varphi(x)}{x}\,dx. $$

Хотя всего этого можно было и не делать (как сейчас догадался), а сразу написать, что для нашей функции

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \ln|x|\varphi(x)\,dx.=v.p. \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \ln|x|\varphi(x)\,dx$$

и дальше выкладки из первого поста.
Впрочем возникло мнимое противоречие и его нужно было разрешить.

Пожалуй вопрос исчерпан. Хочу всех поблагодарить за содержательное обсуждение.