Численное решение Интегральных Уравнений

[motoden]

Доброго времени суток, уважаемые знатоки!
Необходимо реализовать:
1)решение нелинейного ИУ на основании апроксимации неизвестной функции кусочно-постоянной, получить систему уравнений и решить её.

Каким образом я получу из ИУ систему алгебраических?

[AD]

motoden в сообщении #192820 писал(а):

Каким образом я получу из ИУ систему алгебраических?

Я так понимаю, как раз

motoden в сообщении #192820 писал(а):

на основании апроксимации неизвестной функции кусочно-постоянной

Ну параметры кусочно-постоянной функции (кусочки и высоты) и есть неизвестные в системе алгебраических уравнений.

[Полосин]

А как выглядит это нелинейное уравнение? Если его решение - гладкая функция, то кусочно-постоянная аппроксимация - это волюнтаризм. В каком функциональном классе аппроксимируете?

[motoden]

По-моему я понял.
Сведение ИУ к системе алгебраических можно сделать методом моментов или так называемого метода ...(не помню)... В общем это можно сделать при условии вырожденности ядра...

Подробнее об этом в Демидовиче, Мароне: "численный анализ" или как-то так...

[motoden]

Доброго времени суток, уважаемые знатоки.
1)Требуется решить нелинейное интегральное уравнение методом прямоугольников. Уравнение любое. Вот присмотрелся я к нелинейному интегральному уравнению Урыльсона:
$$y(x)=\int_{a}^{b}K(x,s,y(s)) ds
и не могу понять чем оно отличается от уравнения линейного:
$$y(x)=\int_{a}^{b}K(x,s)*y(s)ds

К примеру, когда я решал линейное уравнение методом прямоугольников, я брал такое уравнение:
$$y(x)=\int_{0}^{1}x^2*s*y(s)ds,
где ядро было:
$$K(x,s)=x^2*s.

А как будет выглядеть простое нелинейное уравнение?
Ведь я могу взять в качестве ядра:
$$K(x,s,y(s)) = x^2*s*y(s)
тогда в чём отличие этого полученного нелинейного ур-я от линейного случая???

И, подскажите пожалуйста, чем отличается от линейного случая алгоритм решения методом прямоугольников?


2)Кроме того, мне необходимо решить ИУ с применением принципа сжатых отображений. На сколько я понял из литературы, с помощью этого принципа доказывают единственность решения интегрального уравнения... Как его применить к решению?... тем более что всё это мне ещё нужно запрограммировать...

Буду очень признателен за подробные разъяснения

[PAV]

Две темы слиты

[V.V.]

1. В уравнении Урысона можно взять и нелинейную функцию. Например, $K(x,s,y(s))=x^2s(y(s))^3$.

Случай будет отличаться от линейного тем, что, вообще говоря, надо решать нелинейную систему относительно $y_i=y(x_i)$.

2. Да, доказывается единственность. И существование с принципа сжатых отображений тоже доказывается. А в чем проблема его запрограммировать? Обычный итерационный процесс. Берете какое-нибудь начальное приближение $y^0_i=y^0(x_i)$, считаете $y^1_i=y^1(x_i)$, потом подставляете в уравнение найденные $y^1_i$ и считаете $y^2_i$ и т.д.

[motoden]

с (1) я вроде разобрался.

2) Скажите, где подробно описана процедура решения интуров с помощью принципа сжатых отображений. Что такое итерационная схема, я вроде знаю.

Вот посмотрел книжку Краснова "интегральные уравнения", но что-то там мало про принцип этот написано. Доказывается только с помощью него существование и единственность решения. А мне нужно "реализовать применение принципа сжатых отображений к решению ИУ". Можно это сделать на примере любого уравнения, но чем проще, тем лучше. Так как собственно воспользоваться этим принципом???
[/math]