НОД, НОК

[Nxx]

Можно ли функции НОД и НОК аналитически продолжить на область действительных чисел?

Добавлено спустя 6 минут 29 секунд:

А, вот нашел один вариант для нецелого одного из аргументов:

$$\operatorname{gcd}(a,b)=\log_2\prod_{k=0}^{a-1} (1+e^{-2i\pi k b/a})$$

[Руст]

Nxx писал(а):

Можно ли функции НОД и НОК аналитически продолжить на область действительных чисел?

Добавлено спустя 6 минут 29 секунд:

А, вот нашел один вариант для нецелого одного из аргументов:

$$\operatorname{gcd}(a,b)=\log_2\prod_{k=0}^{a-1} (1+e^{-2i\pi k b/a})$$

Таких определений можно придумать бесконечно много.

[Бодигрим]

Nxx в сообщении #192540 писал(а):

Можно ли функции НОД и НОК аналитически продолжить на область действительных чисел?

А как это: аналитически продолжить, но на действительные числа?

Добавлено спустя 12 минут 14 секунд:

Давайте для начала продолжим на рациональные числа. Обозначая НОД через $(\cdot,\cdot)$ и НОК через $[\cdot,\cdot]$, я бы вводил для несократимых дробей

$$ \left( {p_1\over q_1},{p_2\over q_2} \right) = {(p_1,p_2) \over [q_1,q_2]} $$

и

$$ \left[ {p_1\over q_1},{p_2\over q_2} \right] = {[p_1,p_2] \over (q_1,q_2)} $$

.

Или есть другие разумные способы?

[Руст]

Бодигрим писал(а):

Nxx в сообщении #192540 писал(а):

Можно ли функции НОД и НОК аналитически продолжить на область действительных чисел?

А как это: аналитически продолжить, но на действительные числа?

Добавлено спустя 12 минут 14 секунд:

Давайте для начала продолжим на рациональные числа. Обозначая НОД через $(\cdot,\cdot)$ и НОК через $[\cdot,\cdot]$, я бы вводил для несократимых дробей

$$ \left( {p_1\over q_1},{p_2\over q_2} \right) = {(p_1,p_2) \over [q_1,q_2]} $$

и

$$ \left[ {p_1\over q_1},{p_2\over q_2} \right] = {[p_1,p_2] \over (q_1,q_2)} $$

.

Или есть другие разумные способы?

Для рациональных более разумно $(\frac{p_i}{q_i},i=1,2...,k)=\frac{(p_ir_i,i=1,2,...,k)}{lcm (q_i,i=1,2,...,k)}$, где $r_i=\frac{lcm(q_i,i=1,2,..,k)}{q_i}$. Т.е. числа приводятся к общему множителю, находится НОД полученных числителей и делится на общий знаменатель. В таком виде я несколько раз употреблял НОД для рациональных чисел. Соответственно такое (разумное) определение не распространяется даже на действительные числа по непрерывности, и тем более на комплексные аналитическим образом.

[Nxx]

Руст писал(а):

Таких определений можно придумать бесконечно много.

Это взято из Википедии. Я так понимаю, это общепринятое определение.

[Руст]

В Википедии пишут много чуши. Заметьте. что уже при рациональных b у вас получится во первых многозначная функция (из-за многолистности логарифма) и с комплексными значениями. В то время как определение, приведённое мною для рациональных чисел обладает многими необходимыми свойствами. Например в алгебраической теории чисел числам ставится в соответствие главные идеалы, порождённые ими. при этом НОД у соответствует сумма идеалов. Это соответсвие согласуется с моим определением для рациональных чисел, когда им сопоставляются дробные главные идеалы.