Броуновское движение

[Silent]

1) Есть 2 стохастических процесса

\[dX(t) = (2 + 5t + X(t))dt + 3dW_1(t)\]

\[dY(t) = 4Y(t)dt + 8Y(t)dW_1(t) + 6dW_2(t)\]

Броуновские движения W1 и W2 независимы. Нужно вычислить

\[d(X(t)Y(t))\]

2) Процесс

\[W^3(t) - A\int\limits_0^t {W(s)ds} \]

является мартингалом. (W(t) - броуновское движение). Найти A.

[Горьковчанин]

1) Есть многомерная формула Ито, надо применить ее к функции $f(u,v)=uv$. (см. http://lib.mexmat.ru/books/40553)

[Henrylee]

2) Обозначим

$$ Y_t=\int_0^tW_sds $$

$$ X_t=W_t^3-AY_t $$

Требуется найти $A$ при условии, что $E(X_t|{\cal F}_p)=X_p$, $p<t$.

$$ E(W_t^3|{\cal F}_p)=E((W_p+W_t-W_p)^3|{\cal F}_p)=E(W_p^3+3W_p^2(W_t-W_p)+3W_p(W_t-W_p)^2+(W_t-W_p)^3|{\cal F}_p)=\dots $$

дальше самостоятельно, пользуясь свойствами процесса и свойствами у.м.о.

$$ E(Y_t|{\cal F}_p)=E\left(\int_0^pW_sds+\int_p^t(W_s-W_p)ds+\int_p^tW_pds\Bigg|{\cal F}_p\right)=\dots $$

аналогично.
Дальше очевидно.