Множество всех множеств (парадокс Рассела)

[Кудеяр]

Здравствуйте!
Объясните мне, тупому, почему множество всех множеств отождествляют с множеством $M$, которое обладает тем свойством, что само не содержит себя в качестве элемента?

[Xaositect]

Это в каком описании парадокса Рассела Вы такое нашли?
В парадоксе Рассела рассмотривается множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента.
Множество всех множеств - это парадокс Кантора.

[Кудеяр]

Xaositect в сообщении #192330 писал(а):

Это в каком описании парадокса Рассела Вы такое нашли?

В парадоксе Рассела рассмотривается множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента.

Это я в Зориче. гл. 1, параграф 2.

[Xaositect]

Зорич писал(а):

Действительно, пусть для множества $M$ запись $P(M)$ означает, что $M$ не содержит себя в качестве своего элемента.
Рассмотрим класс $K = \{M|P(M)\}$ множеств, обладающих свойством $P$.
Если $K$ — множество, то либо верно, что $P(K)$, либо верно, что $\neg P(K)$.
Однако эта альтернатива для $K$ невозможна. Действительно, $P(K)$ невозможно, ибо из определения $K$ тогда бы следовало, что $K$ содержит $K$, т. е. что верно $\neg P(K)$; с другой стороны, $\neg P(K)$ тоже невозможно, поскольку это означает, что $K$ содержит $K$, а это противоречит определению $K$ как класса тех множеств, которые сами себя не содержат.
Следовательно, $K$ — не множество.

Мы рассматриваем класс $K$ всех множеств, обладающих свойством $P$, т.е. класс всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента.

[Кудеяр]

Xaositect писал(а):

Мы рассматриваем класс $K$ всех множеств, обладающих свойством $P$, т.е. класс всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента.

Угу. А выше написано

Зорич писал(а):

И в самом деле, например, понятие множества всех множеств просто противоречиво.

А дальше идет треугольничек - начало доказательства. И то, что Вы написали.

А я связи не улавливаю.

[AD]

Если было бы множество всех множеств, то было бы и множество $K$ (так как оно было подмножеством множества всех множеств, построенным по свойству $P$). Но $K$ нет, значит, нет и множества всех множеств.

[Кудеяр]

честно говоря, все равно не понимаю. Но спасибо. Надо наверно как-то это осознать и впитать

[naiv1]

Вот у меня в связи с темой возникли два вопроса:

1. Входит ли во множество вcех множеств множество разумных существ, живущих на Марсе?

2. Что понимается под словом всех в выражении "множество вcех множеств"?

[Brukvalub]

naiv1 в сообщении #194872 писал(а):

1. Входит ли во множество вcех множеств множество разумных существ, живущих на Марсе?

Даже для Юпитера - входит.

naiv1 в сообщении #194872 писал(а):

2. Что понимается под словом всех в выражении "множество вcех множеств"?

Так и понимайте - всех.

[naiv1]

Brukvalub писал(а):

naiv1 в сообщении #194872 писал(а):

1. Входит ли во множество вcех множеств множество разумных существ, живущих на Марсе?

Даже для Юпитера - входит.

Это можно доказать и если да, то как?

Brukvalub писал(а):

naiv1 в сообщении #194872 писал(а):

2. Что понимается под словом всех в выражении "множество вcех множеств"?

Так и понимайте - всех.

Как сказал зачинатель темы

Кудеяр писал(а):

честно говоря, ... не понимаю.

Почти как масляное масло.

[gefest_md]

Фразу из доказательства "Следовательно, $K$ — не множество." можно не понимать буквально. Можно сказать "Следовательно, $K$ — не очень хорошее множество." и тогда множество всех множеств есть тоже не очень хорошим множеством. А вообще то, что парадоксы есть - это естественно.

[Утундрий]

Послушаем, что говорит вики:

http://ru.wikipedia.org/wiki писал(а):

Пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K — противоречие. Если нет — то, по определению K, оно должно быть элементом K — вновь противоречие

Парадокс возникает уже из того простого факта, что под множеством понимается такая логическая надстройка над некоторым базовым набором элементов, что о каждом элементе из этого набора всегда можно сказать, принадлежит он некоторому множеству или не принадлежит. Озвученная выше совокупность $K$ всех множеств, не содержащих в себе себя не может быть множеством в указанном смысле. Для данной совокупности нельзя сказать, содержит она себя в себе или не содержит.