читая Серпинского ``О решении уравнений в целых числах''...

[Коровьев]

Sonic86 писал(а):

$y^2+2=x^3$. От противного находим, что $x,y$ нечетные. Пусть $j= \sqrt{-2}$, тогда в $\mathbb{Z}[j]$ будет $(y+j)(y-j)=x^3$. Находим НОД:
$gcd (y+j; y-j) = gcd (y+j; 2j) = gcd (y+j; j) = gcd (y; j)=1$.
Во 2-м и 4-м переходе используется то, что $y$ - нечетное.
Действ., $y+j = 2m \Rightarrow y^2-2=N(y+j) = 4m^2$, то есть, что $y^2-2$ кратно 2, что неверно. И так же из $y=jm \Rightarrow y^2=N(y)=2m^2$ следует, что $y$ кратно 2, что неверно.
$gcd (y+j; y-j) = 1, (y+j)(y-j)=x^3 \Rightarrow y+j=(p+qj)^3, y-j=(p-qj)^3$, откуда
$j= \frac{(p+qj)^3-(p-qj)^3}{2}=qj(3p^2-2q^2)$, откуда $q=p=1$, а значит $y=(1+j)^3-j=-5, x=3$.

Если пообобщать на $y^2+k=x^3, k>0$, то будет верно для всех $k$, свободных от квадратов. (Если я в док-ве не ошибся.)

Обобщение верно, но есть нюанс.
Переход от взаимной простоты двух алгебраических чисел к утверждению, что каждое число есть куб, в общем случае не верен.
$a^2+7=b^3$ имеет решение $a=1,y=2$, которое нельзя получить этим методом.
$a+\sqrt { - 7}=(x+y\sqrt { - 7} )^3=A+B \sqrt { - 7} $
$B=3x^2y-7y^3 \ne 1$ ни при каких целых $x,y$
Это связано это с неоднозначностью разложения на простые множители в кольце целых алгебраических чисел $R(\sqrt { - 7})$
Норма $N(1+\sqrt { - 7})=8$. Но $2$ не является нормой ни для какого числа.
$x^2+7y^2 \ne 2$

[Sonic86]

Ну вот, так и знал, что где-то ошибка.
Не было систематического курса...

Добавлено спустя 56 минут 52 секунды:

Все же, так можно решить уравнение, упомянутое Матом: $y^2+2=x^n$ - действительно нет решений.

[Руст]

Тут важно, чтобы в вашем кольце можно было однозначно разложит на простыею Кольцо целых $Q[\sqrt{-2}]$ кажется этим свойством обладает. Основной ошибкой Ламе в доказательстве ВТФ было именно это.

[Мат]

Кстати, семерка в плане уравнений Морделла вообще удивительное число:

$$1^2+7=2^3$$

$$3^2+7=2^4$$

$$5^2+7=2^5$$

$$11^2+7=2^7$$

И очень похоже, что таких равенств очень и очень много

[maxal]

Мат писал(а):

Кстати, семерка в плане уравнений Морделла вообще удивительное число:

$$1^2+7=2^3$$

$$3^2+7=2^4$$

$$5^2+7=2^5$$

$$11^2+7=2^7$$

И очень похоже, что таких равенств очень и очень много

Равенств вида $m^2 + 7 = 2^n$ не может быть очень много. Они сводятся лишь к трем кривым Морделла:

$$(2^k y)^2 = (2^k x)^3 - 2^{2k} 7,$$

где $k=0,\,1$ или $2$.
К указанным выше решениям добавляется лишь:

$$181^2 + 7 = 2^{15}.$$

Других нет.

[Мат]

maxal писал(а):

Равенств вида $m^2 + 7 = 2^n$ не может быть очень много. Они сводятся лишь к трем кривым Морделла:

$$(2^k y)^2 = (2^k x)^3 - 2^{2k} 7,$$

где $k=0,\,1$ или $2$.
К указанным выше решениям добавляется лишь:

$$181^2 + 7 = 2^{15}.$$

Других нет.

Интересно, но доказательство мне не совсем понятно. Хотя ладно, Бог с ним.

[Petern1]

Maxal

Здравствуйте, уважаемый maxal!
Вчера скатал сообщение на свою тему и решил глянуть что есть вокруг и обнаружил открытую Вами тему.
В целом я одобряю Ваши намерения.
С книжкой Серпинского я знакомился. И не доволен. Там много кратких упоминаний. Словно его жестко ограничили объемом, а он стремился в этот урезанный объем втиснуть как можно больше информации. Раскрытия и комментарии необходимы.
Но этого, на мой взгляд, недостаточно. Полагаю есть потребность, чтобы кто-нибудь из российских математиков взялся да написал настоящую книгу страниц этак на 500—800, да в двух томах. Первый том в духе Серпинского. Во втором томе сделать попытку популярного, разъяснительного изложения современной теории чисел. С уважением Petern1.

[maxal]

Petern1 в сообщении #200054 писал(а):

С книжкой Серпинского я знакомился. И не доволен. Там много кратких упоминаний. Словно его жестко ограничили объемом, а он стремился в этот урезанный объем втиснуть как можно больше информации.

Так в принципе и есть. Русское издание ``О решении уравнений в целых числах'' - это по сути урезанная версия книги:
Sierpinski W. — Elementary Theory of Numbers
объём которой примерно в 5 раз больше. Но вот на русском языке эта книга не издавалась, к сожалению.

[Бодигрим]

На стр. 35, обсуждая решение $x^2+y^2=z^2+1$ (целые точки на гиперболоиде), Серпинский приводит два полиномиальных решения этого уравнения:

$$ (n^2+n-1)^2+(2n+1)^2 = (n^2+n+1)^2+1, \qquad (2n(4n+1))^2 + (16n^3-1)^2 = (16n^3+2n)^2 + 1. $$

Какие еще есть полиномиальные решения? Исчерпывают ли они хотя бы все нечетные ($xyz\equiv1\pmod2$) решения уравнения?

[Батороев]

Не знаю, какие решения относятся к полиномиальным?

Может, такое тоже пойдет?
$(2n)^2+(2n^2-1)^2 = (2n^2)^2+1$.

[Коровьев]

Бодигрим в сообщении #232646 писал(а):

Какие еще есть полиномиальные решения?

Есть более общая задача. Найти все решения диафантова уравнения
$X^2 + Y^2 - Z^2 = A^2 $ (1)
Решается довольно просто.
$ X^2 + Y^2 = Z^2 + A^2 $
$Z^2 + A^2$ не может быть простым числом, ибо простое число представимо ввиде суммы квадратов единственным способом с точностью до порядка слагаемых.
С другой стороны, все его сомножители представимы в виде суммы квадратов.
$ Z^2 + A^2 = (a^2 + b^2 )(x^2 + y^2 ) = (ax + by)^2 + (ay - bx)^2 = (ax - by)^2 + (ay + bx)^2 $ (2)
пусть $ (a,b) = 1$
и $ ay + bx = A $
Все решения этого уравнения есть
$ x = Ab^{\varphi (a) - 1} + at $
$ y = A\frac{{ - b^{\varphi (a)} + 1}}{a} - bt $
$ \varphi (a)$ - числовая функция Эйлера.
Подставляя эти решения в (2) получим все решения и исходного уравнения (1).
Можно упростить, сузив клаасс решений при $a=1$.
Тогда
$x = A + t$
$ y = A( - b + 1) - bt$

[maxal]

// Обсуждение линейный диофантовых уравнений и алгоритма Евклида отделено в тему:

линейные диофантовы уравнения и алгоритм Евклида