предположим, гессиан невырожден в каждой точке.
Ну например - его элементы константы, тогда

- многочлен второй степени, его градиент - линейное отображение. Его матрица невырождена - следовательно, оно глобально взаимо-однозначно.
Если же компоненты градиента нелинейны (

многочлен не менее 3ей степени), то очевидно однозначность может нарушиться, пример:

. Тогда

. Естественно, обратное отображение неоднозначно.
Собственно, гессиан в данном случае - якобиан отображения. Можно вопсользоваться теореомой о существовании обратного отображения.
Явный путь думаю не приведет к результатам (если расписать

через коэффициенты), потому как гессиан будет многочленом степени

, где

- степень

. Ну а утверждать о том, что у него есть корни будет проблематично, если

- четное.