Пусть
--- базис Гамеля
как пространства над
,
и
--- линейная оболочка
(над
, естественно). Легко показать, что если
не более чем счётно, то
имеет лебегову меру
(оно счётным или одноэлементным окажется), а если
непусто и не более чем счётно, то
не измеримо по Лебегу (сдвигая
счётное число раз, можно покрыть всё
счётным семейством непересекающихся множеств). А что насчёт меры
в случае, когда оба множества
,
более чем счётны? Ясно, что
в этом случае либо имеет меру
, либо не измеримо по Лебегу. Оба ли случая реализуются?