Диф. геометрия, геодезические, ур-ние Эйлера - Лагранжа

[MiXA]

Здравствуйте уважаемые пользователи форума.
Помогите в решении следующей задачи из области дифференциальной геометрии:

Имеется $g$ - риманова метрика на $M , \nabla$ - связность Леви-Чивита метрики $g $.
Задан Лагранжиан $L(z)$ где $z=\frac12 g_{i,j} (x) \mathring x^i\mathring x^j $

Необходимо получить дифференциальные уравнения геодезических линий римановой метрики $ \frac {d^2 x^k} {d t^2} + \Gamma^k_{ij} \frac {d x^i} {d t}\frac {d x^j} {d t} = 0 $
и используя уравнение Эйлера-Лагранжа $ \frac {\partial L} {\partial x} - \frac d {d t}\frac {\partial L} {\partial \mathring x} = 0 $ - экстремали Лагранжиана а затем сравнить их.
Правда если говорить о ур-нии Эйлера-Лагранжа, то как я понимаю нужно будет прийти (использовать ?) к канонической записи
$\ddot x^k + G^k (x, \mathring x, t) = 0 $

где $ G^k = \frac 12 L^{ik} (\frac {\partial^2 L} {\partial \mathring x^i \partial x^j } \mathring x^j + \frac {\partial^2 L} {\partial \mathring x^i \partial t } - \frac {\partial L} {\partial x^i}) $

Но вот сама технология решения проблемы у меня вызывает непонимание.
Лагранжиан не вырожденный $ det ||L|| \neq 0 $ и задача будет решать только с использование дифференциирования (без интегрирования ?)...

Одним словом буду очень благодарен за любые указания, которые помогут мне решить проблему, в данный момент активно углубляюсь в литературу по вопросу .

[MiXA]

Так решение проблемы постепенно продвигается.
Для получения уравнений экстремалей после дифференцирования остаётся найти функциональную матрицу обратную данной:
$ G_{ij} = (g_{ij} + \frac {L''} {L'} * g_{is} g_{jk} \mathring x^k\mathring x^s) $

Очевидно что это будет матрица которая при перемножении на исходную даст символ кронейкера..
И вид будет иметь $ G^{jk} = (g^{jk} + ....) $ , где найти второе слагаемое у меня пока не получилось.
Буду очень благодарен, если кто-то подскажет мне решение данной проблемы.