Отношение измеримости vs. отношения делимости

[Свободный Художник]

Захотелось выразить основы теории делимости в терминах, более приближенных к первоисточнику. В частности, заменить отношение делимости “отношением измеримости”.
В качестве образца изложения основ теории делимости можно взять соответствующие места из
Дэвенпорт Г. Высшая арифметика.
Введение в теорию чисел.
М.: Наука, 1965, Глава 1.
http://www.px-pict.com/7/4/5/2.html

и попытаться выразить эти основы в терминах определений из VII книги “Начал” Евклида:
http://www.px-pict.com/7/3/1/8/2/1.html

По-видимому, это можно сделать следующим образом. Исходим из арифметики Пресбургера:
http://en.wikipedia.org/wiki/Presburger_arithmetic,
http://mathworld.wolfram.com/PresburgerArithmetic.html

и пусть $\mathbf{N} =\: <\!\mathrm{N},\, + >$ будет “полугруппой Пресбургера”, т. е. единственной с точностью до изоморфизма моделью его арифметики (используем ту разновидность арифметики Пресбургера, сигнатура которой не содержит индивидной константы $0$; значит ее моделью будет просто полугруппа, а не моноид).

Пусть $End(\mathbf{N})$ будет множеством всех эндоморфизмов полугруппы $\mathbf{N}$, мы можем определить на множестве $End(\mathbf{N})$ все необходимые операции по аналогии с построением кольца эндоморфизмов абелевой группы:
http://en.wikipedia.org/wiki/Endomorphism,
http://en.wikipedia.org/wiki/Endomorphism_ring

Тогда для любых чисел $x,y \in \mathrm{N}$ и для любого эндоморфизма $m \in End(\mathbf{N})$ выражение $y = m(x)$ может быть прочитано как “число $y$ есть m-кратное числа $x$”.

Отношение “число $x$ измеряет число $y$” (обозначение: $x \sqsubseteq y$) может быть определено следующим образом:
$(x \sqsubseteq y)\; iff\; \exists k[k(x) = y]$.

Обычным образом определяем: $(x \sqsubset y) \; iff\; [(x \sqsubseteq y) \& (x \ne y)]$.

Тогда, если $(x \sqsubset y)$, то в соответствии с духом определений “Начал”, мы могли бы сказать, что “число $x$ есть часть числа $y$” (или что “число $y$ есть кратное числа $x$”).

В арифметике Пресбургера мы можем определить $1$ как наименьший элемент имеющегося там линейного порядка и тогда “первые” числа по терминологии “Начал” можно определить следующим образом:
число $x$ есть первое $\, iff\; (1 \sqsubset x) \:\&\: \neg\exists u[(u \ne 1) \& (u \sqsubset x)]$.

И т. д.

[Черный Евгений]

Простите, но может быть Вы хотели сказать, что 1 есть мерило для любого числа, поскольку любое число состоит из целого числа единиц?

[Свободный Художник]

Разумеется, единица измеряет любое число,
т. е. для любого числа $x \in \mathrm{N}$ имеет место $1 \sqsubseteq x$.
Но кроме $1$ число $x$ могут измерять также и другие числа. Если же таких чисел не существует, то число $x$ будет простым (или “первым”), что и зафиксировано в определении Евклида: “Первое число есть измеряемое только единицей”.

Изложенный в первом посте подход позволяет дать некоторую экспликацию фигурирующим в VII Книге “Начал” высказываниям “число составлено из единиц” и “одно число измеряет другое число”.
То, что “число составлено из единиц” является следствием факта, что $1$ является образующей полугруппы $\mathbf{N}$.

А поскольку $\mathbf{N}$ является еще и свободной полугруппой, то любое отображение множества ее образующих в множество $\mathrm{N}$ чисел может быть однозначно продолжено до некоторого эндоморфизма полугруппы $\mathbf{N}$.
Или, что то же самое, для любого числа $x \in \mathrm{N}$, соотношение $k(1) = x$ однозначно определяет эндоморфизм $k \in End(\mathbf{N})$.

Например, если $x = 3$, то мы можем обозначить через $\overline{3}$ эндоморфизм, который перекидывает $1$ в $3$. Этим он полностью характеризуется, т. к. $\overline{3}(2) = \overline{3}(1 + 1) = \overline{3}(1) + \overline{3}(1) = 3 + 3 = 6$ и т. д.

Привлекая характерную для Евклида интуицию о “числах-отрезках”:
Комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского к книге:
Евклид. Начала Евклида (книги VII — X).
Гос. издательство технико-теоретической литературы,
Москва, Ленинград, 1949, сс. 264, 267.
http://www.px-pict.com/9/6/4/1/1.html

мы могли бы интерпретировать соотношение $\overline{3}(2) = 6$ в том смысле, что число $2$ укладывается в числе $6$ целое число раз, и, следовательно, число $2$ измеряет число $6$.

[bot]

Зачем наводить тень на плетень в ясный день?
Вы берёте свободную полугруппу ранга 1, она коммутативна. Отображение образующего индуцирует эндоморфизм и всякий эндоморфизм индуцируется отображением образующего. Каждому эндоморфизму соответствует конгруенция, множество которых образует решётку по включению. Эта решётка изоморфна решётке натуральных чисел по отношению делимости.
О чём предлагаете дискутировать?

[Свободный Художник]

Речь шла о том, чтобы попытаться изложить теорию делимости для натуральных чисел в духе, максимально приближенном к конструкциям VII книги “Начал”.
С этой целью предлагается проводить рассмотрения не в рамках кольца целых чисел, а в рамках “полугруппы с операторами”, где в качестве полугруппы выступала бы свободная полугруппа с одним образующим.

Добавлено спустя 2 часа 25 минут 35 секунд:

Т. е. предлагается рассмотреть отношение делимости в следующей системе:
$\mathbf{KN} =\: <\!\mathbf{K}, \mathbf{N}, \, * >$,

где $\mathbf{N} =\: <\!\mathrm{N},\, + >$ -- свободная полугруппа с одним образующим, элементы ее множества-носителя будем называть “числами”;
$\mathbf{K} =\: <\!End(\mathbf{N}),\, \boxplus,\, \cdot >$ -- алгебра эндоморфизмов полугруппы $\mathbf{N}$,
где $\boxplus$ -- операция сложения эндоморфизмов,
$\cdot$ -- операция умножения эндоморфизмов,

$*$ -- операция “действия” (или применения) эндоморфизма на число, дающая в результате также число (если $m \in End(\mathbf{N})$ и $x \in \mathrm{N}$, то вместо $m*x$ будем писать также $m(x)$).

Точнее сказать, предлагается в первую очередь сосредоточиться на рассмотрении именно введенного выше отношения $\sqsubseteq$ измеримости на множестве $\mathrm{N}$ чисел

Свободный Художник писал(а):

Тогда для любых чисел $x,y \in \mathrm{N}$ и для любого эндоморфизма $m \in End(\mathbf{N})$ выражение $y = m(x)$ может быть прочитано как “число $y$ есть m-кратное числа $x$”.
Отношение “число $x$ измеряет число $y$” (обозначение: $x \sqsubseteq y$) может быть определено следующим образом:
$(x \sqsubseteq y)\; iff\; \exists k[k(x) = y]$.

а не отношения $\sqsubseteq_1$ “делимости” на множестве $End(\mathbf{N})$, которое, конечно, можно определить в алгебре $\mathbf{K} =\: <\!End(\mathbf{N}),\, \boxplus,\, \cdot >$ эндоморфизмов.

[bot]

Свободный Художник в сообщении #191523 писал(а):

Речь шла о том, чтобы попытаться изложить теорию делимости для натуральных чисел в духе, максимально приближенном к конструкциям VII книги “Начал”.

Трудностей не вижу, а зачем?

[Свободный Художник]

bot писал(а):

..., а зачем?

Меня в свое время удивило, что в VII книге “Начал”, которая есть как бы первый учебник по теории чисел, нет ни слова ни о делителях, ни о делимости. Термина “наибольший общий делитель” там тоже нет.
Хотя по всеобщему мнению, теория делимости для натуральных чисел, которую мы сейчас знаем, основана на материале VII книги.
Вместо “делимости” в VII книге всюду говорится об “измеримости”.
В связи связи с этим хотелось бы рассмотреть какую-нибудь по-возможности “минимальную” алгебраическую систему, в рамках которой можно было бы провести различие между отношением “делимости” и отношением “измеримости” (наподобие рассмотренной выше системы $\mathbf{KN}$).
------------------------
И еще один сопутствующий вопрос. О соотношении аддитивных и мультипликативных конструкций при построении “теории делимости”. Можно ли построить полноценную теорию делимости для натуральных чисел не вводя операции умножения в арифметику Пресбургера?
Обычно при построении теории делимости для натуральных чисел используют “алгоритм Евклида”. В современной формулировке этого алгоритма в нем используется операция умножения.
Однако “алгоритм Антанаиресис”:
Б. Л. ван дер Варден. Пробуждающаяся наука.
Математика древнего Египта, Вавилона и Греции.
Гос. издательство физико-математической литературы,
М.:, 1959, сс. 176 — 177:

Цитата:

Для определения общей наибольшей меры двух взаимоизмеримых величин $a$ и $b$ греческая математика знает способ попеременного вычитания (antanairesis): меньшую величину, например, $a$, вычитают из большей, так что получаются две новые величины $a$ и $(b - a)$, затем снова меньшую вычитают из большей и т. д.
Если существует общая мера, то этот процесс неизбежно приведет к двум равным величинам $c = d$, каждая из которых и есть общая наибольшая мера. В VII книге "Начал" этот метод применяется для нахождения общего наибольшего делителя чисел, а в начале книги X — для произвольных величин, чтобы установить, имеется ли у них общая мера и если да, то какова она.

который эквивалентен по своим возможностям алгоритму Евклида, формулируется исключительно в аддитивных терминах. По этой причине мы можем очень просто определить в “полугруппе Пресбургера”
$\mathbf{N} =\: <\!\mathrm{N},\, + >$
понятие идеала (адаптируя соответствующее понятие из теории колец):
http://en.wikipedia.org/wiki/Ideal_(ring_theory)

Подмножество $\triangle$ множества $\mathrm{N}$ чисел есть идеал полугруппы $\mathbf{N}$ iff выполняются следующие два условия:
(i) если $x,y \in \mathrm{\triangle}$, то $(x + y) \in \mathrm{\triangle}$;
(ii) если $x,y \in \mathrm{\triangle}$ и $x > y$, то $(x - y) \in \mathrm{\triangle}$.

Т. е. понятие идеала определено исключительно в аддитивных терминах.
Однако мы можем считать идеалы двойниками натуральных чисел и тогда отношение делимости будет моделироваться просто отношением теоретико-множественного включения идеалов. Как хорошо известно, в пространстве идеалов можно построить полноценную теорию делимости для натуральных чисел.
При этом операцию умножения на множестве $\mathrm{N}$ мы нигде не использовали.

В свете этого кажется логичным начинать построение иерархии числовых систем с арифметики Пресбургера, а не с арифметики Пеано. Кронекер в своем высказывании о том, что создал Бог, а что является делом рук человеческих, кажется, несколько промахнулся.