Когда L_p гильбертово

[MaхVT]

Пусть $\Omega$ --- произвольное измеримое множество. Как известно, $L_{p}(\Omega)$ является гильбертовым пространством только при $p=2.$

Как показать, что при $p\neq 2$ пространство $L_p(\Omega)$ гильбертовым не является? Ясно, что в этом случае нельзя будет ввести скалярное произведение, согласованное с нормой. Для доказательства этого факта обычно используют закон параллелограмма. А именно предъявляют функции $x$ и $y$, которые не удовлетворяют равенству $\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2).$ Такие функции несложно сочинить, если $\Omega,$ к примеру, есть отрезок $[0,1].$ А как быть в случае произвольного измеримого $\Omega$?

[ewert]

например, характеристические функции для двух непересекающихся множеств, меры которых равны единице (чтоб проще считать было)

[Brukvalub]

ewert в сообщении #190639 писал(а):

например, характеристические функции для двух непересекающихся множеств, меры которых равны единице (чтоб проще считать было)

А такие подмножества найдутся даже в том случае, если мера всего $\Omega$ меньше 1 ?

[ewert]

Если меры обоих множеств уменьшить в одно и то же количество раз, то обе части тождества параллелограмма тоже умножатся на одно и то же число.

(Я ж сказал -- "чтобы проще считать было".)

[MaхVT]

Всё получается, если у этих двух непересекающихся множеств ненулевые меры.

Если $\mathrm{meas}(\Omega)\neq 0,$ то разве всегда найдутся $A$ и $B$ такие, что $\Omega=A\sqcup B$ и $\mathrm{meas}(A)\neq 0,\mathrm{meas}(B)\neq 0$?

[ewert]

Фактически требуется, чтобы сигма-алгебра содержала по крайней мере два непересекающихся подмножества ненулевой меры. Если это не так (т.е. если есть только одно измеримое подмножество ненулевой меры), то все функции из $L_p$ должны быть константами на этом подмножестве -- иначе они окажутся не измеримыми. Но тогда любая вообще норма будет попросту пропорциональна модулю этой константы и, следовательно, пропорциональна $L_2$-норме.

--------------------------------------------------------------
Начало сформулировано крайне неаккуратно, но зато по существу, поэтому пусть так и остаётся. А формально надо было начать примерно так:
"Если неверно, что сигма-алгебра содержит по крайней мере два непересекающихся подмножества ненулевой меры, то для любой функции из $L_p$ (вообще для любой измеримой функции) существует такая константа $C$, что прообраз этой константы имеет ненулевую меру, а прообраз $\mathbb R\setminus\{C\}$ имеет меру ноль".
Далее -- по тексту.

[Хорхе]

ewert писал(а):

...существует такая константа $C$, что прообраз этой константы имеет ненулевую меру, а прообраз $\mathbb R\setminus\{C\}$ имеет меру ноль".

Это тоже не очень аккуратно. Мера может быть нулевой тождественно (чем не мера?)
Есть еще такая мантра -- "почти всюду". Всю цитату можно заменить на лаконичное "функция постоянна почти всюду".

[ewert]

Хорхе писал(а):

Мера может быть нулевой тождественно (чем не мера?)

Этот случай мы вроде как заранее исключили.

Ибо мера, которая тождественно равно нулю -- настолько отвратительна, что мы её с негодованием отбрасываем.