Тригонометрическое ур-е. arccos(a-x)+arccos(b-x)=...

[Colte]

Извиняюсь,что так часто обращаюсь за помощью, у меня завтра олимпиада.

Условие: $\arccos(\frac32 - x) + \arccos( \frac12 -x) = \frac{2 \pi}{3}$

из идей: $(\frac32 - x) - (\frac12 - x) = 1$
Так что имеем:$\arccos(y+1) + \arccos( y) = \frac{2 \pi}{3}$
где $y=\frac12 -x$
Дальше можно брать $cos $ от обоих частей,но там появляется $\sin(\arccos(y))$,
и как его убирать не очень понятно.Есть идеи?

Спасибо за отзывчивость!

[gris]

синус через косинус можно выразить, только за знаками следить. Получится нудное иррациональное уравнение.
Левая часть монотонно убывает (для $y$), так что проблем быть не должно.

[ewert]

Берём ${3\over2}-x=\cos t$ и ${1\over2}-x=\cos s$. Тогда:

$$\begin{cases}t+s={2\pi\over3}; \\ \cos t-\cos s=1.\end{cases}$$

Ну теперь сворачиваем разность косинусов в последнем уравнении в произведение -- и получаем систему двух линейных уравнений для $t,s$. Конечно, надо позаботиться об областях определения; и, конечно, полезно помнить, что решение -- заведомо единственно.