Статистика Бозе-Эйнштейна и распределение Парето

[druggist]

Как-то попалось интервью академика РАН В.П. Маслова, в частности, утверждалось что статистика Б.-Э. приводит к распределению Парето(степенному распределению). Что это значит, что бозе-частицы распределены по степенному закону? То есть,если n(m) - число состояний с одинаковым числом частиц m, то распределение Парето(плотность вероятности) означает, что n(m) должно быть обратно пропорционально квадрату m. Кстати, для газа из различимых частиц(статистика Максвелла-Больцмана) для n(m) имеем, естесственно, гауссово распределение с максимумом. Получить же аналогичное распределение для бозе-частиц, которое вроде бы должно быть степенным(Парето), из комбинаторных соображений и принципа максимума энтропии что то не получается. Пытался почитать работы Маслова, из-за слабого знания математики ничего не понял

[Munin]

Напомните, как из статистики Больцмана получается гауссово распределение. Я помню только

$$f=\frac{1}{\exp\left(\frac{E-E_0}{kT}\right)+(-1,0,+1)}$$

[druggist]

А если не передирать формулу из учебника, а немного подумать?

[Munin]

Я её из памяти передрал. А чтобы думать, надо вспомнить, какая комбинаторика для каждой из трёх статистик работает. Может, хоть это напомните?

[druggist]

Можно посмотреть Ландау, Лифшиц. Статфизика. Часть 1
$40(Неравновесный идеальный газ)
$55(Неравновесные ферми и бозе газы)

это пока с написанием формул не освоился, боюсь карантина

Добавлено спустя 2 часа 49 минут 1 секунду:

Конечно, это не совсем гаусс, но энтропия как функция плотности, а так как плотность есть число частиц на интервал состояний, на одно состояние как раз и будет m, т.е., энтропия как функция m будет иметь максимум при m среднем. А функция распределения и есть n(m).

[Munin]

druggist в сообщении #190469 писал(а):

Конечно, это не совсем гаусс

Ну вот, только я заинтересовался...

druggist в сообщении #190469 писал(а):

плотность есть число частиц на интервал состояний

Вы хотя бы самый главный секрет раскройте: интервал состояний по чему? По энергии, по импульсу, по тридевятому царству? А то я вас пока совсем не понимаю.

По написанию формул рекомендую
http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.c ... &network=1
- осваивается моментально.

ЛЛ-5 посмотрю.

Добавлено спустя 42 минуты 42 секунды:

ЛЛ-5 посмотрел, ваши слова пока ясней не стали.

[druggist]

Странно....
Есть M частиц, размещеныых по N местам, СОСТОЯНИЯМ, ящикам, корзинам...

если говорить про полное число "состояний системы", так сказать, "число ячеек фазового пространства" системы, то оно будет равнятся М в степени N

а про распределение Пуассона слышали? а это и есть гаусс при больших m средних

Добавлено спустя 2 часа 20 минут 40 секунд:

Еще связанная с моим вопросом задачка:

Есть колода карт, М - красной масти, N - черной. Перемешивается она следующим образом: берется наугад карта, если она красной масти, то кладется на любое возможное место, между любыми картами, если черная, то остается там где была. После перемешивания подсчитываются цепочки карт красной масти идущие одна за другой, не прерываемые черными. Если две карты черной масти идут одна за одной, то это значит что есть цепочка нулевой длины. Строим график: на первое место r=1 помещаем максимальную длину цепочки m макс., на второе следующую по длине цепочку и т.д, то есть, строим ранговое распределение. Так вот, мне кажется, что при таком способе перемешивания данное распределение будет степенным(Парето) с какими-то "обрезаниями" на краях

[Munin]

druggist в сообщении #190593 писал(а):

Странно....
Есть M частиц, размещеныых по N местам, СОСТОЯНИЯМ, ящикам, корзинам...

В обозначениях ЛЛ-5 это N и G. Вы бы обозначения оговаривали, что ли.

druggist в сообщении #190593 писал(а):

если говорить про полное число "состояний системы", так сказать, "число ячеек фазового пространства" системы, то оно будет равнятся М в степени N

В ваших обозначениях должно быть иначе, $N^M.$ А вот в обозначениях ЛЛ-5 - действительно, $N$ в показателе: $G^N.$ Неудивительно, что вас нельзя понять, при такой-то путанице.

Переведите свои начальные сообщения на обозначения ЛЛ-5, или уточните их в своих обозначениях, но чтобы там всё без путаницы было.

[druggist]

Munin писал(а):

В ваших обозначениях должно быть иначе, $N^M.$ А вот в обозначениях ЛЛ-5 - действительно, $N$ в показателе: $G^N.$

Да, ошибся, конечно, для различимых частиц N в степени M. Одну частицу можно поместить в N мест, вторую независимо от первой также в N мест, и так все М частиц. А вот для бозе -частиц возможно, то что я написал и будет как раз правильно

[Munin]

Так вернёмся к Гауссу и Парето?

[druggist]

Не так все просто...
Получить вместо гаусса парето, ипользуя принцип "деньги к деньгам", "победитель получает все" и т.п. не сложно, это довольно старая идея, можно получить представление по нижеприведенной ссылке(выглядит несколько одиозно, но по поводу функции распределения вполне разумно). Вопрос, откуда взялся сам этот принцип?

http://www.antiglobalism.ru/

[Munin]

Ну, это-то просто. Возьмём две частицы и два состояния. Для больцманонов состояние $(2,0)$ имеет статистический вес 1, а состояние $(1,1)$ - 2, за счёт возможных перестановок. Для бозонов и $(2,0)$ - 1, и $(1,1)$ - 1. То есть относительный статистический вес состояния со "слипшимися" частицами вырос.

[druggist]

Аплодирую! Теперь совсем просто: есть N бозе-частиц, они распределены по G состояниям, какова функция распределения.?

[Munin]

Э, а в ЛЛ-5 § 55 разве не написано?

[druggist]

Что там написано, я знаю... Степенного закона не получается, видимо, какие-то дополнительные условия нужны, пока не могу понять