Погрешность в подборе корней

[AndreyXYZ]

Пусть дано уравнение c действительными коэффициентами: $x^3+ax^2+bx+c=0.$
$x_1$ --- один из корней уравнения. Некоторым способом нам удается найти приближенное значение данного корня

$$\widetilde x_1$$

. Чему равна погрешность для найденного корня? Можно ли считать её равной $|\frac{\widetilde x_1-x_1}{x_1}|$? Если можно, то как быть в случае, когда $x_1$ близко к нулю?

[Лиля]

$|\frac{\widetilde x_1-x_1}{x_1}|$ -это относительная погрешность -сдесь все проще пользуй просто $| \widetilde x_1-x_1 |$ сдесь не важно на сколько отстоит $x$ от $0$ и погрешность в данном случае от этого зависеть не должна

[gris]

Я присоединяюсь к Лиле. Относительная погрешность может вообще не существовать при $x=0$.

[AndreyXYZ]

Прподаватель предложил нам следующий метод для определения погрешности. Подставляем корень в исходную формулу и находим отношение, которое и определяет погрешность:

$$\frac{\widetilde x_1^3+a\widetilde x_1^2+b\widetilde x_1+c}{c}$$

Но почему именно это выражение должно определять погрешность? Оно не сводится к $|\frac{\widetilde x_1-x_1}{x_1}|$.

Добавлено спустя 2 минуты 17 секунд:

Лиля в сообщении #190199 писал(а):

$|\frac{\widetilde x_1-x_1}{x_1}|$ -это относительная погрешность -сдесь все проще пользуй просто $| \widetilde x_1-x_1 |$ сдесь не важно на сколько отстоит $x$ от $0$ и погрешность в данном случае от этого зависеть не должна

Мне нужна относительная погрешность. Нам сказали: ошибка в пределах нескольких процентов допустима. А абсолютная погрешность никакого смысла не несет.

[ewert]

зря вам так сказали. Относительная погрешность имеет смысл только тогда, когда вычисляемая величина по самой постановке задачи знакоопределённа, чего для кубическиз (вообще алгебраических) уравнений нет.

И уж совсем бессмысленно делить погрешность лампочек на апельсины (т.е. на свободный член). Попросту по соображениям размерности.

[AndreyXYZ]

gris в сообщении #190203 писал(а):

Относительная погрешность может вообще не существовать при $x=0$.

Очевидно, что при $x=0$ ошибки быть не может.

Добавлено спустя 5 минут 4 секунды:

ewert в сообщении #190208 писал(а):

зря вам так сказали. Относительная погрешность имеет смысл только тогда, когда вычисляемая величина по самой постановке задачи знакоопределённа, чего для кубическиз (вообще алгебраических) уравнений нет.

А как Вы тогда предлагаете оценивать точность, с которой вычислен корень? Неужели Вы считаете, что она не определена? Сравните: $x_1=-1, \widetilde x_1=10$ и $x_1=10000; \widetilde x_1=10015$. Разве не очевидно, что в первом случае ошибка больше?

[Лиля]

то что он предложил -это похоже на погрешность самой функции а не ее корней но тогда это должно было бы быть $|f(x_1)-f(\widetilde x_1)|$ ну уж не как не $\frac{f(\widetilde x_1)}{f(x_1)}$ -или что то в этом духе в записи вашего преподователя -такое возможно ток в частных случаях -если например вам заранее известен ответ и что там не будет деления на $0$

Добавлено спустя 5 минут 34 секунды:

AndreyXYZ в сообщении #190209 писал(а):

Сравните: $x_1=-1, \widetilde x_1=10$ и $x_1=10000; \widetilde x_1=10015$. Разве не очевидно, что в первом случае ошибка больше?

ошибка больше в первом случае ток с позиции физики а не математики -у физиков на сколько я понимаю большенство погрешностей пропорционально увеличиваються с удалением от $0$ (напрмер весы $5\%$ погрешности на килограмм веса) математика -более общая наука и точка отсчета сдесь приоретета не имеет если это изначально не задано условиями

[mkot]

AndreyXYZ писал(а):

Прподаватель предложил нам следующий метод для определения погрешности. Подставляем корень в исходную формулу и находим отношение, которое и определяет погрешность:

$$\frac{\widetilde x_1^3+a\widetilde x_1^2+b\widetilde x_1+c}{c}$$

Эту формулу можно, в некотором смысле, интерпретировать как относительную невязку.
То есть по аналогии с линейными уравнениями вида $Ax = f$, где относительная невязка вычисляется по формуле $||A\widetilde x - f|| / ||f||$, данное уравнение записать в виде
$x^3+ax^2+bx= -c$ и записать подобную формулу. Но, видимо, вопрос о связи погрешности и невязки в данном случае не тривиален.

[AndreyXYZ]

Спасибо.

[Алексей К.]

AndreyXYZ в сообщении #190189 писал(а):

Чему равна погрешность для найденного корня?

Погрешность, на мой взгляд, зависит от метода нахождения корня.
Если Вы искали приближённый корень методом деления отрезка пополам, то для определения погрешности следует привлечь свойства компьютера-калькулятора. Если Вы нарисовали (каким-то образом точный) график, и линеечкой отмерили корень, то неплохо бы знать толщину линии, и цену деления линейки.

[TOTAL]

AndreyXYZ писал(а):

Прподаватель предложил нам следующий метод для определения погрешности. Подставляем корень в исходную формулу и находим отношение, которое и определяет погрешность:

$$\frac{\widetilde x_1^3+a\widetilde x_1^2+b\widetilde x_1+c}{c}$$

Глупость. К погрешности, с которой найден корень $x_1,$ эта величина не имеет никакого отношения. Так как эта величина равна нулю, если в качестве $\widetilde x_1$ взять любой из корней.