Сигма-алгебры

[lofar]

Легко показать, что всякая конечная $\sigma$-алгебра состоит из $2^n$ элементов. Если $\sigma$-алгебра бесконечна, то ее мощность не меньше $2^{\aleph_0}$. Верно ли, что всякая $\sigma$-алгебра имеет мощность вида $2^{c}$, где $c$ --- некоторый кардинал?

[er]

не верно.

Для любого кардинала $\tau$ существует $\sigma$-алгебра мощности $\tau^{\aleph_0}$. Эта $\sigma$-алгебра, порожденная одноточечными подмножествами множества мощности $\tau$.

Скорее всего, для мощности $\tau$ $\sigma$-алгебры верно $\tau^{\aleph_0}=\tau.

[finanzmaster]

lofar писал(а):

Легко показать, что всякая конечная $\sigma$-алгебра состоит из $2^n$ элементов.

Всякая ли?
А самая примитивная - пустое множество и объединение всех элементов?

[PAV]

finanzmaster писал(а):

А самая примитивная - пустое множество и объединение всех элементов?

Два элемента (вы их, собственно, и назвали), n=1.

[Trueman]

Если принять обобщённую гипотезу континуума, то по-моему утверждение, очевидно, верно.

[er]

Trueman писал(а):

Если принять обобщённую гипотезу континуума, то по-моему утверждение, очевидно, верно.

Какое утверждение верно?

Это

lofar писал(а):

Верно ли, что всякая $\sigma$-алгебра имеет мощность вида $2^{c}$, где $c$ --- некоторый кардинал?

или это

er писал(а):

Скорее всего, для мощности $\tau$ $\sigma$-алгебры верно $\tau^{\aleph_0}=\tau.

?

Первое утверждение не верно. Пусть $\tau$ есть предел возрастающей трансфинитной последовательности $\{\tau_\alpha: \alpha<\omega_1\}$ кардиналов, для которых $2^{\tau_{\alpha}}\le \tau_{\alpha+1}$. Тогда $\tau=\tau^{\aleph_0}$ и $\tau$ не вида $2^c$. И существует $\sigma$-алгебра мощности $\tau$.