Система нелинейных уравнений

[Руст]

Относительно неизвестных: $-1=x_0<x_1<\dots<x_{n-1}<x_n=1$ известно, что они удовлетворяют системе уравнений:

$$\sum_{0\le j\le n,j\not=i} \frac{1}{x_i-x_j}=0, \ \ i=1,2,\dots, n-1.$$

1. Докажите, что $x_i+x_{n-i}=0$.
2. Можете ли найти явный вид решения.
3. Найдите асимптотическое (при больших n) распределение корней решения.

[Руст]

Даю решение первой части. Обозначим через P(x) полином:

$$P(x)=\prod_{i=0}^{n+1} (x-x_i).$$

Имеет место:
$\frac{P'(x)}{P(x)} =\sum_i \frac{1}{x-x_i}.$
Следовательно
$\sum_{j\not=i} \frac{1}{x-x_j}=\frac{P'(x)}{P(x)}-\frac{1}{x-x_i}=\frac{(x-x_i)P'(x)-P(x)}{(x-x_i)P(x)}.$
Вычисляя предел этого выражения при $x\to x_i$ применяя дважды правило Лопиталя получаем:

$$0=\sum_{j\not=i}=\frac{P''(x_i)}{2P'(x_i)}.$$

Следовательно наша система уравнений эквивалентно тому, что корни второй производной нашего полинома те же что и у самого полинома за исключением крайних. Поэтому наш полином удовлетворяет специальному дифференциальному уравнению:
$(x^2-1)P''(x)=n(n+1)P(x)$.
Решение этого уравнения находится разложением в ряд Тейлора (сходящейся в интервале |x|<1):
$f(x)=\sum_i a_ix^i, a_{i+2}=\frac{i(i-1)-n(n+1)}{(i+2)(i+1)} a_i.
Полиномиальное решение единственное (с точностью до умножения на константу) и оно или чётное (при нечётном n) или нечётное (при чётном n). Соответственно вместе с каждым корнем имеет и корень с противоположным знаком, т.е. $x_i+x_{n+1-i}=0, что доказывает первую часть.

[juna]

Не совсем понятен переход к дифференциальному уравнению. То, что корни второй производной полинома $P’’(x_i)$ равны корням $i-$го уравнения исходной системы видно без Лопиталя – просто если для $i-$го уравнения привести члены к общему знаменателю, затем на него сократить, то числитель как раз будет равен полиному $P’’(x_i)$. Но почему, умножив его на крайние члены, мы должны придти к полиному $P(x_i)$ с коэффициентом $n(n+1)$. Поясните, пожалуйста.

[Руст]

Мы доказали, что вторая производная имеет корни $x_1,x_2,\dots ,x_{n-1}$ и является многочленом n-1 -ой степени, соответственно старший коэффициент n(n+1) (так как старший коэффициент P(x) равен 1). Отсюда получается это дифференциальное уравнение (кажется оно называется уравнением Бесселя, но я в названиях не силён).

[juna]

Пусть $n=1$, $P(x)=(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)$ $P’’(x)=2(x-x_0)+2(x-x_1)+2(x-x_2)$. Умножаем на крайние члены $(x-x_0)(x-x_2)( 2(x-x_0)+2(x-x_1)+2(x-x_2))=2(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)$, последнее равенство не обязано выполняться даже если взять $x_0=-1$ $x_2=1$. Укажите, пожалуйста, на ошибку.

[Руст]

Выпоняться должно если выполняются система уравнений относительно средних неизвестных (корни не произвольные, а удовлетворяющие системе нелинейных уравнений).
Фактический доказали, что система нелинейных уравнений эквивалентно тому, что соответствующий полином является решением дифференциального уравнения.

[Руст]

Закончу решение задачи.
2. Было получено дифференциальное уравнение для полинома P(x). Легко проверяется, что этому дифференциальному удовлетворяют и полиномы: $(x^2-1)P_n'(x)$, где через $P_n(x)$ обозначены полиномы Лежандра. Таким образом $x_1,x_2,\dots,x_{n-1}$ не что иное как корни (в количестве n-1) производной n-го полинома Лежандра. Другого описания я не знаю.
3. Используя 2 можно получить распределение корней.

[Руст]

3. Распределение, при больших n такое же как и распределение корней (которые находятся по формуле $\cos{(\pi+\frac{k\pi}{n+1})}$. Для уточнения можно брать нечто средние числа: $\cos{(\pi+\frac{k\pi}{n})}, \ k=1,2,..,n-1$.