2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Система нелинейных уравнений
Сообщение02.04.2006, 11:08 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Относительно неизвестных: $-1=x_0<x_1<\dots<x_{n-1}<x_n=1$ известно, что они удовлетворяют системе уравнений:
$$\sum_{0\le j\le n,j\not=i} \frac{1}{x_i-x_j}=0, \ \ i=1,2,\dots, n-1.$$
1. Докажите, что $x_i+x_{n-i}=0$.
2. Можете ли найти явный вид решения.
3. Найдите асимптотическое (при больших n) распределение корней решения.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.04.2006, 09:47 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Даю решение первой части. Обозначим через P(x) полином:$$P(x)=\prod_{i=0}^{n+1} (x-x_i).$$ Имеет место:
$\frac{P'(x)}{P(x)} =\sum_i \frac{1}{x-x_i}.$
Следовательно
$\sum_{j\not=i} \frac{1}{x-x_j}=\frac{P'(x)}{P(x)}-\frac{1}{x-x_i}=\frac{(x-x_i)P'(x)-P(x)}{(x-x_i)P(x)}.$
Вычисляя предел этого выражения при $x\to x_i$ применяя дважды правило Лопиталя получаем: $$0=\sum_{j\not=i}=\frac{P''(x_i)}{2P'(x_i)}.$$ Следовательно наша система уравнений эквивалентно тому, что корни второй производной нашего полинома те же что и у самого полинома за исключением крайних. Поэтому наш полином удовлетворяет специальному дифференциальному уравнению:
$(x^2-1)P''(x)=n(n+1)P(x)$.
Решение этого уравнения находится разложением в ряд Тейлора (сходящейся в интервале |x|<1):
$f(x)=\sum_i a_ix^i, a_{i+2}=\frac{i(i-1)-n(n+1)}{(i+2)(i+1)} a_i.
Полиномиальное решение единственное (с точностью до умножения на константу) и оно или чётное (при нечётном n) или нечётное (при чётном n). Соответственно вместе с каждым корнем имеет и корень с противоположным знаком, т.е. $x_i+x_{n+1-i}=0, что доказывает первую часть.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.04.2006, 21:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Не совсем понятен переход к дифференциальному уравнению. То, что корни второй производной полинома $P’’(x_i)$ равны корням $i-$го уравнения исходной системы видно без Лопиталя – просто если для $i-$го уравнения привести члены к общему знаменателю, затем на него сократить, то числитель как раз будет равен полиному $P’’(x_i)$. Но почему, умножив его на крайние члены, мы должны придти к полиному $P(x_i)$ с коэффициентом $n(n+1)$. Поясните, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.04.2006, 22:10 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Мы доказали, что вторая производная имеет корни $x_1,x_2,\dots ,x_{n-1}$ и является многочленом n-1 -ой степени, соответственно старший коэффициент n(n+1) (так как старший коэффициент P(x) равен 1). Отсюда получается это дифференциальное уравнение (кажется оно называется уравнением Бесселя, но я в названиях не силён).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.04.2006, 23:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Пусть $n=1$, $P(x)=(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)$ $P’’(x)=2(x-x_0)+2(x-x_1)+2(x-x_2)$. Умножаем на крайние члены $(x-x_0)(x-x_2)( 2(x-x_0)+2(x-x_1)+2(x-x_2))=2(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)$, последнее равенство не обязано выполняться даже если взять $x_0=-1$ $x_2=1$. Укажите, пожалуйста, на ошибку.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.04.2006, 23:23 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Выпоняться должно если выполняются система уравнений относительно средних неизвестных (корни не произвольные, а удовлетворяющие системе нелинейных уравнений).
Фактический доказали, что система нелинейных уравнений эквивалентно тому, что соответствующий полином является решением дифференциального уравнения.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.04.2006, 14:10 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Закончу решение задачи.
2. Было получено дифференциальное уравнение для полинома P(x). Легко проверяется, что этому дифференциальному удовлетворяют и полиномы: $(x^2-1)P_n'(x)$, где через $P_n(x)$ обозначены полиномы Лежандра. Таким образом $x_1,x_2,\dots,x_{n-1}$ не что иное как корни (в количестве n-1) производной n-го полинома Лежандра. Другого описания я не знаю.
3. Используя 2 можно получить распределение корней.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.04.2006, 14:31 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
3. Распределение, при больших n такое же как и распределение корней (которые находятся по формуле $\cos{(\pi+\frac{k\pi}{n+1})}$. Для уточнения можно брать нечто средние числа: $\cos{(\pi+\frac{k\pi}{n})}, \ k=1,2,..,n-1$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group