Интеграл от Ln(sinx)

[Fsb4000]

\int\limits_{0} ^{\frac{\pi} { 2} } ln(sinx)dx
Пару месяцев назад тут уже вроде обсуждалось нечто похожее, но там просто сообщалось , что это интеграл Лобачевского и берется "элементарно". Хотелось бы услышать какую либо подсказку.

[ИСН]

В элементарных никак.

[AD]

$I=\int_0^{\pi/2}\ln\sin x\,dx=\int_0^{\pi/2}\ln\cos x\,dx=\frac12\int_0^\pi\ln\sin x\,dx$,
и дальше предлагается, пользуясь первым равенством, свернуть в выражении $2I$ двойной угол.

[ИСН]

Тьфу. Извините. Показалось, что интеграл неопределённый. А так-то, конечно, элементарно.

[ewert]

AD писал(а):

$I=\int_0^{\pi/2}\ln\sin x\,dx=\int_0^{\pi/2}\ln\cos x\,dx=\frac12\int_0^\pi\sin x\,dx$,
и дальше предлагается, пользуясь первым равенством, свернуть в выражении $2I$ двойной угол.

Чего-то я ничего не понял. Откуда там справа чистый синус-то? Вот если бы

$I=\int_0^{\pi/2}\ln\sin x\,dx=\int_0^{\pi/2}\ln\cos x\,dx=\frac12\int_0^{\pi/2}\ln{\sin 2x\over2}\,dx=\frac14\int_0^\pi(\ln\sin t-\ln2)\,dt$

-- то это ещё куда бы ни шло.

[AD]

Ну это "куда не шло" и есть полное решение (оно же вторая строчка моего поста), которое нельзя публиковать (вечно кто-то что-то портит ). А "чистый синус" возник из симметрии относительно $\pi/2$.

[ewert]

погодите-погодите. Так Вы утверждаете, что искомый интеграл равен ровно единице?...

[AD]

ewert в сообщении #189914 писал(а):

Так Вы утверждаете, что искомый интеграл равен ровно единице?...

Серьёзно?

Добавлено спустя 2 минуты 4 секунды:

У меня получалось $-\frac{\pi}2\ln2$, в соответствии с вышесказанным.

Добавлено спустя 33 секунды:

Вообще, это ж всё в Демидовиче есть, помню.

[ewert]

Абсолютно.

Ведь AD в сообщении #189896 писал(а):

$I=\int_0^{\pi/2}\ln\sin x\,dx=\int_0^{\pi/2}\ln\cos x\,dx=\frac12\int_0^\pi\sin x\,dx=1.$

[AD]

А, дошло. Очепятка. Fixed.

Но "=1" я не писал (не совсем еще крыша уехала ...)