2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Выпуклые функции: Очевидно, но...
Сообщение01.04.2006, 21:33 


01/04/06
44
Пожалуйста, помогите доказать.


Пусть функция $f$ выпукла на промежутке $I \subset \mathbb{R}$. Показать:
1) что если $f$не равна постоянной, то она не может достигать своей верхней грани во внутренних точках промежутка $I$.
2) что если множество $I$ относительно компактно, то $f$ ограничена снизу на $I$.
3) что если $I= \mathbb{R}$ и $f$ не равна постоянной, то $f$ не ограничена на $I$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.04.2006, 01:52 


19/01/06
179
Ну, "очевидно" это очень многозначное слово и опасно, с одной стороны, им увлекаться и, с другой стороны, не стоит огорчаться из-за него.

А в связи с вашими задачами, например, в 1) случае, попробуйте доказать эквивалентное предложение: для выпуклой на отрезке функции если она достигает во внутренней точке своей верхней грани, то она постоянна.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2006, 07:03 


01/04/06
44
Ничего не получается :(
Ребята, помогите справиться.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2006, 12:43 


18/02/06
37
мех-мат МГУ
трапезун писал(а):
Ничего не получается :(
Ребята, помогите справиться.


что такое "множество относительно компактно"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Очевидно, но...
Сообщение04.04.2006, 16:56 


04/04/06
2
трапезун писал(а):
Пожалуйста, помогите доказать.
Пусть функция $f$ выпукла на промежутке
$I\subset\mathbb{R}$.
Показать:
1) что если $f$не равна постоянной, то она не может достигать своей верхней грани во внутренних точках промежутка $I$.

Пусть $x^*$ точка, в которой достигается верхняя грань и $x^*$ внутренняя точка. Если $f$ не константа, то существует $a$ такая, что $f(a)<f(x^*)$. Выберем точку $b$ по другую сторону относительно $x^*$, т.е. $x^*\in(min(a,b),max(a,b))$. Тогда существует $\alpha\in(0,1)$ такое, что имеет место равенство $x^*=\alpha a+(1-\alpha)b$. Из условия выпуклости получаем $f(x^*)\le\alpha f(a)+(1-\alpha)f(b)<f(x^*)$. Противоречие.
Цитата:
3) что если $I= \mathbb{R}$ и $f$ не равна постоянной, то $f$ не ограничена на $I$.

Из условия выпуклости для точек $a<b<b+(b-a)n,n\in\mathbb{N}$ получаем $f(b)=f(\frac{n}{n+1}a+\frac{1}{n+1}(b+(b-a)n))\le\frac{n}{n+1}f(a)+\frac{1}{n+1}f(b+(b-a)n)$. Откуда $(n+1)f(b)-nf(a)\le f(b+(b-a)n)$ или $f(b+(b-a)n)\ge f(b)+n(f(b)-f(a))$. Если $f(b)>f(a)$, то неограниченность очевидна. В случае монотонно убывающей рассмотрим $\hat f(x)=f(-x)$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.04.2006, 18:39 


01/04/06
44
Сергей Михайлов писал(а):
что такое "множество относительно компактно"?

Множество $I$ в топологическом пространстве $\mathbb{R}$ называется относительно компактным, если $I$ содержится в компактном множестве.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.05.2006, 10:21 


01/04/06
44
Пытаюсь решить задачу 2 в несколько упрощённом варианте.
Пусть функция $f$ строго выпукла, непрерывна и строго убывает на $(a, b)$,
где $a$ и $b$ - конечные числа. Доказать, что $f$ ограничена снизу на $(a, b)$.

Очевидно в силу непрерывности и строго убывания $f$ имеем, что
$ \inf \{ f(x), x \in (a, b) \} = f(b-0)$. Остаётся показать, что $f(b-0)$ - конечное число. Никак не получается это сделать. :(

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.05.2006, 22:28 


17/09/05
121
Проведём прямую через две точки кривой. Пусть $(b,y)$ - точка пересечения проведённой прямой и прямой $x=b$. Тогда неравенство $f(b-0)<y$ противоречит строгой выпуклости $f$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group