Планиметрия, четырехугольники

[Джек]

Какие из утверждений про плоские четырехугольники являются верными?

(1) В любом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, делят друг друга пополам.

(2) Если в четырехугольнике диагонали равны и перпендикулярны, то этот четырехугольник является квадратом.

(3) Если равны произведения длин противоположных сторон четырехугольника, то диагонали этого четырехугольника перпендикулярны.

(4) Если отрезок, соединяющий середины двух сторон четырехугольника, параллелен двум другим сторонам, то четырехугольник является трапецией.

(5) Если длина отрезка, соединяющего середины двух параллельных сторон четырехугольника, равна полусумме длин двух других сторон, то этот четырехугольник является параллелограммом.

[gris]

Надо знать целую кучу свойств четырёхугольников:

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.
Диагонали ромба перпендикулярны.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Кроме этого, нужно знать признаки четырёхугольника каждого вида:

Если две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.
Если диагонали делятся пополам точкой пересечения, то это параллелограмм.
Если диагонали перпендикулярны, то это ромб. СТОП! Нет такого признака!

Вот комбинируя свойства и признаки, можно делать некоторые логические выводы.

[Джек]

В умове не сказано што четырехугольник выпуклый )))значит даже 1 может не выполнятся)))

ну так каие варианты правдивые ?

[PAV]

Джек
правилами форума запрещено давать готовые ответы к учебным задачам. Вы должны написать свои соображения и, собственно, в чем конкретные затруднения.

[gris]

Если Вы нас решили проэкзаменовать, то надо было тему открыть в разделе "Олимпиадные задачи". Но на олимпиадные они не тянут... Насчёт невыпуклости хорошее замечание. Ну вот, рассмотрите каждый пункт как теорему и попытайтесь её доказать.
Сразу скажу, что свойство средней линии треугольника очень пригодится.

[Джек]

так:

1.Если чотырехугольник выпуклый то правда,если же нет то лож)))...нет

2.Так же)))...нет к етим 2 примерам легко привести пример)))

3.Лож...нет

4.Ну напримет у паралелограме,но паралелограм не трапецыя)))...нет

5.Здесь подходит трапецыя...нет)))

Вышло што все неверные )))но ето ни так...где ошыбка ?

Добавлено спустя 5 минут 4 секунды:

да,да,да...в первом ответ положытелен...а как с остальными?

[Алексей К.]

Джек в сообщении #188812 писал(а):

паралелограм не трапецыя

Параллелограмм --- частный случай трапеции.
Пишiть украïньскою мовою, бо важко читати. Або уважнiше. Що це за "ЛОЖ"?

[gris]

1) Для невыпуклого почему ложь? А вот докажите теоремку, что середины сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
2) контрпример - в студию!
3) с чего бы?
4) Это тонкий вопрос. Смотря что считать трапецией. Дайте определение.
5) с чего бы?

Ашыбак у Вас куча. И не тока громотических

Ув. Алексей К.!
Я тоже согласен, что логично и преемственно рассматривать трапецию, как четырехугольник с парой параллельных сторон. Однако, в школе трапеция определяется, как четырехугольник ровно с одной парой параллельных сторон. Либо как "четырехугольник у которого одна пара параллельна, а другая нет". И в английском варианте та же ситуация с trapezium (trapezoid). Поэтому я бы при ответе, предположим, на экзамене специально бы оговорил эти тонкости.

[Алексей К.]

gris, мне про школу уже трудно судить (давно не имел дела), но насчёт английского варианта ---

gris в сообщении #188818 писал(а):

И в английском варианте та же ситуация с trapezium (trapezoid).

Трапецоид от Вольфрама --- никаких намёков. Может, правда, и здесь Вы имели в виду английскую школу...

Добавлено спустя 3 минуты 4 секунды:

Джек, да я слегка пошутил про мову... Не берите в голову, пишите... как получается. Попоправляем при нужде.

[gris]

Алексей К., вопрос о трапецоиде относится больше к истории математики. Раньше так назывался четырехугольник вообще без пары параллельных сторон, а трапециумом - с одной парой параллельных сторон.

Сейчас в американской школе "trapezoid - A quadrilateral that has exactly two sides parallel." ( http://www.math.com/school/glossary/defs/trapezoid.html )

Вопрос, разумеется, исключительно терминологический. Однако при компьютерном тестировании, когда невозможно дать пояснения, могут быть недоразумения.

[Алексей К.]

Вывод один: надо бороться за то, чтобы в нашей, российской школе, таких алогизмов и недоразумений не было! Учут, блин, логизму, а такие ляпы...
Кабы имел возможность лично убедиться, немедленно открытое письмо министру геометрии настрочил бы!
Надеюсь, квадрат пока считается и ромбом, и прямоугольником...