Изолированная сингулярность

[Бабай]

Требуется определить тип изолированной сингулярности для функции:
$f(z)=\frac{1-e^{z}}{1+e^{z}}$

Вообще можно же в двух словах сказать, что так как числитель является голоморфной функцией в точках, где знаменатель имеет нули, а именно это точки $z_k=(2k+1)\pi{}i$, то функция $f(z)$ наследует тип сингулярности от функции  $g(z)=\frac{1}{1+e^z}$. Но порядок нуля знаменателя последней равен 1, что видно из её разложения в степенной ряд. Значит $g(z)$, и след-но $f(z)$ имеет полюс 1 порядка в интересующих точках. Правильно?

А вот теперь если я хочу применить напрямую теорему Римана об устранимых особых точках, чтоб получить желаемый результат, то есть я рассматриваю предел:

$\lim_{z\to{z_k}}(1-e^z)\frac{z-(2k+1)\pi{}i}{1+e^z}=\lim_{z\to{z_k}}(1-e^{z})(\frac{z-2k\pi{}i}{1+e^{z}}-\frac{\pi{}i}{1+e^{z}})=2\lim_{z\to{z_k}}(\frac{z-2k\pi{}i}{1+e^{z-2k\pi{}i-\pi{}i}}-\frac{\pi{}i}{1+e^{z-2k\pi{}i-\pi{}i}})=2\lim_{z\to{0}}(\frac{z}{1+e^{z-\pi{}i}}-\frac{\pi{}i}{1+e^{z-\pi{}i}})=2(\pi{}i\lim_{z\to{0}}\frac{1}{e^z-1}-\lim_{z\to{0}}\frac{z}{e^z-1})=2(\pi{}i\lim_{z\to{0}}\frac{1}{e^z-1}-1)$
потому что $\lim_{z\to{0}}\frac{e^z-1}{z}=1$

Но остался ещё один предел, который не является конечным, не так ли? Но мне нужно чё-нить конечное! Где я просчитался?

Добавлено спустя 1 час 6 минут 42 секунды:

всё вижу ошибку ... пора отдыхать!