Уравнение (ЕГЭ, тригонометрия)

[DoGGy]

\[ \left\{ \begin{array}{l} \tg x + 2\tg 2x + 2008\ctg 3x + 4\ctg 4x = 0 \\ \arccos \left( {\frac{4}{3}x - 1} \right) \ge 0 \\ \end{array} \right. \]

подскажите, пожалуйста, как решать системы такого типа ?

Добавлено спустя 13 минут 58 секунд:

подразумевается, что

\[ - 1 \le \left( {\frac{4}{3}x - 1} \right) \le 1\]

Из определения арккосинуса, а что делать с первым уравнением системы ??Подскажките, плз, что с этими тангенсо-котангенсами делать ?

[gris]

Второе неравенство, как Вы правильно написали, равносильно тому, что $0 \leqslant x \leqslant 1.5$, поскольку арккосинус неотрицателен по определению.

В указанной области производная левой части отрицательна, анализ поведения функции вблизи точек разрыва показывет, что уравнение имеет ровно один корень вблизи $\pi/6$, то есть там, где $\ctg 3x$ немножко отрицательный.


Я пока не вижу, как уравнение можно решить аналитически. Очень хорошим приближением можно считать $x=\frac13arcctg(-\frac {5\sqrt 3}{3\cdot 2008})$

[Someone]

Mathematica 5.1 по команде TrigFactor преобразует левую часть уравнения к очень простому виду. Думаю, если Вы выразите тангенсы и котангенсы через синусы и косинусы и приведёте к общему знаменателю, то после ряда упрощений тоже получите этот результат: $\frac{(4018\cos 2x-2007)\cos x}{(2\cos 2x+1)\sin x}$.

$\tg x$, $\ctg 3x$

$\tg x$, $\ctg 3x$

[gris]

Походу эта задачка из третьей части ЕГЭ, то есть требует знания основных формул и ещё "чуть-чуть подумать".

Я бы стал думать так: третье слагаемое уж очень выделяется. А три оставшихся чем-то похожи. Кроме того, можно применить простенькую формулу тангенса двойного угла. Что получится, если сложить второе и четвёртое слагаемое, а потом прибавить ещё и первое?

[DoGGy]

вроде бы получится

\[\frac{1}{{tg x}}\]

??

[gris]

Да!
А вот теперь не грех и синусы с косинусами ввести. Знаменатель нам не нужен. И вспоминайте формулы синуса суммы и двойного угла.

Добавлено спустя 5 минут:

Вообще надо осознавать, что мы хотим сделать.
Упростить уравнение.
Как обычно упрощаем? Разложением на сомножители, приведением к одной какой-то функции. То есть на каждом шаге надо смотреть немного вперёд и думать, что мы можем сделать, чтобы вынести за скобки... Нельзя ли сгруппировать? Можно ли понизить кратность тригонометрической функции?

[DoGGy]

\[ x = \frac{{\pi n}}{4} \]

Получаются такие корни, но они не проходят по ОДЗ

\[ctg4x\]

. Значит система не имеет корней ?? или еще есть какие-то корни ?

[gris]

Ну это ещё что? Вы сказали, что получили уравнение $\ctg x+ 2008 \ctg 3x = 0$
Можно, конесно, разложить $3x=x+2x$, если Вы помните формулу котангенса суммы. А потом и вовсе перейти к $\ctg x$

Ну а кто знает котангенс тройного угла, тому вообще пряник медовый в подарок.

[DoGGy]

а по-моему, если ввести косинусы и синусы, то там получается, синус суммы в числителе.......

Добавлено спустя 2 минуты 8 секунд:

ааааааа, там же 2008 еще болтается, а я про него забыл

[gris]

Проще с котангенсом. Ну или с тангенсом, что всё равно. Зачем вам четыре функции, если сейчас у Вас уже только две.

Для тангенса очень полезно знать формулу суммы. Из неё двойной и тройной угол получаются просто. Не обязательно помнить все формулы, но основные знать нужно.

Загляните в раздел математические формулы на форуме. Но лучше самому вывести, а то на экзамене-то как?

[DoGGy]

Вроде нашел окончательное решение системы :

\[ arcctg(\sqrt {\frac{1}{2}} ) + \pi n,n \in Z \]

Всем спасибо. Просто я побаиваюсь таких конструкций почему-то

Добавлено спустя 1 час 12 минут 25 секунд:

скорее даже ответ

\[arcctg(\sqrt {\frac{1}{2}})\]

без

\[\pi n\]

, т.к. у нас же есть промежуток, в котором должен содержаться икс ?!

[gris]

Опять про 2008 забыли! А ведь он там до сих пор болтается!

[DoGGy]

нет, сейчас все учел, 2008 сократилось

Добавлено спустя 1 минуту 7 секунд:

хотя, наверное, да - забыл

[Алексей К.]

Ребяты, переходите чисто к тангенсам, и будет вам биквадратное уравнение.
А значит, с косинусом двойного угла ещё проще должно получиться.

Добавлено спустя 2 минуты 50 секунд:

Что, собственно, Someone выше уже предложил.

[gris]

Да там линейное относительно $\ctg^2x$.
Просто у DoGGy невнимательность походу такая же, как у меня