Вот такая вариация известных способов придумалась. Достаточно простой на мой взгляд алгоритм и без страшных терминов. Знай себе вычисляй... И, кстати, забавная формула для матрицы кривизны получилась, Янга-Миллса напоминает )))
Итак, приступим. Привожу порядок действий без обоснований.
Представим метрику в виде
![\[g_{\mu \nu } = h_\mu ^{\dot \alpha } h_\nu ^{\dot \beta } g_{\dot \alpha \dot \beta } \]](https://dxdy.ru/math/ec58911d8d226a464e6d7ae47d8377ab82.png "\[g_{\mu \nu } = h_\mu ^{\dot \alpha } h_\nu ^{\dot \beta } g_{\dot \alpha \dot \beta } \]")
, где
![\[g_{\dot \alpha \dot \beta } \]](https://dxdy.ru/math/852174eabb81040fe27314bca0fc024f82.png "\[g_{\dot \alpha \dot \beta } \]")
- постоянная невырожденная матрица (
как обычные так и пунктирные индексы пробегают значения от 
до 
).
Обращением матриц
получаем
![$\[\zeta \]$](https://dxdy.ru/math/63e6896b911330e7d3c6854a44859ea682.png "$\[\zeta \]$")
так чтобы выполнялось
![$\[h_\mu ^{\dot \alpha } \zeta _{\dot \beta }^\mu = \delta _{\dot \beta }^{\dot \alpha } \]$](https://dxdy.ru/math/013577ad4645a8a501ad52e8be86137282.png "$\[h_\mu ^{\dot \alpha } \zeta _{\dot \beta }^\mu = \delta _{\dot \beta }^{\dot \alpha } \]$")
Находим все
![$\[\omega _{\alpha \beta }^{\dot \gamma } = - \omega _{\beta \alpha }^{\dot \gamma } = h_{\alpha ,\beta }^{\dot \gamma } - h_{\beta ,\alpha }^{\dot \gamma } \]$](https://dxdy.ru/math/a0aac529b60026a5f2eab1d9ddea67d482.png "$\[\omega _{\alpha \beta }^{\dot \gamma } = - \omega _{\beta \alpha }^{\dot \gamma } = h_{\alpha ,\beta }^{\dot \gamma } - h_{\beta ,\alpha }^{\dot \gamma } \]$")
затем все
![$\[\omega _{\alpha \beta \sigma } = \omega _{\alpha \beta }^{\dot \gamma } h_{\dot \gamma \sigma } \]$](https://dxdy.ru/math/55930fcdc727763526ecd8625ffa234b82.png "$\[\omega _{\alpha \beta \sigma } = \omega _{\alpha \beta }^{\dot \gamma } h_{\dot \gamma \sigma } \]$")
после чего находим
![$\[\lambda _{\alpha \beta \sigma } = - \lambda _{\beta \alpha \sigma } = \frac{1}{2}\left( {\omega _{\alpha \beta \sigma } + \omega _{\sigma \beta \alpha } - \omega _{\sigma \alpha \beta } } \right)\]$](https://dxdy.ru/math/3f4f442412dd1eeed3074d56b67e674982.png "$\[\lambda _{\alpha \beta \sigma } = - \lambda _{\beta \alpha \sigma } = \frac{1}{2}\left( {\omega _{\alpha \beta \sigma } + \omega _{\sigma \beta \alpha } - \omega _{\sigma \alpha \beta } } \right)\]$")
и наконец
![$\[\lambda _{\dot \alpha \dot \beta \sigma } = \zeta _{\dot \alpha }^\alpha \zeta _{\dot \beta }^\beta \lambda _{\alpha \beta \sigma } \]$](https://dxdy.ru/math/82f0e60ff4aa2a1c77142fb4f4446f4682.png "$\[\lambda _{\dot \alpha \dot \beta \sigma } = \zeta _{\dot \alpha }^\alpha \zeta _{\dot \beta }^\beta \lambda _{\alpha \beta \sigma } \]$")
Теперь поднимем первый пунктирный индекс у лямбд с помощью
![$\[g^{\dot \alpha \dot \beta } \]$](https://dxdy.ru/math/6040f8fc6cc27a76f8ca356e637626ad82.png "$\[g^{\dot \alpha \dot \beta } \]$")
и образуем величины
![$\[R_{\dot \beta \mu \nu }^{\dot \alpha } = \lambda _{\dot \beta \nu ,\mu }^{\dot \alpha } - \lambda _{\dot \beta \mu ,\nu }^{\dot \alpha } + \lambda _{\dot \gamma \mu }^{\dot \alpha } \lambda _{\dot \beta \nu }^{\dot \gamma } - \lambda _{\dot \gamma \nu }^{\dot \alpha } \lambda _{\dot \beta \mu }^{\dot \gamma } \]$](https://dxdy.ru/math/90faacf5f40391943127a0a37f7c8c1c82.png "$\[R_{\dot \beta \mu \nu }^{\dot \alpha } = \lambda _{\dot \beta \nu ,\mu }^{\dot \alpha } - \lambda _{\dot \beta \mu ,\nu }^{\dot \alpha } + \lambda _{\dot \gamma \mu }^{\dot \alpha } \lambda _{\dot \beta \nu }^{\dot \gamma } - \lambda _{\dot \gamma \nu }^{\dot \alpha } \lambda _{\dot \beta \mu }^{\dot \gamma } \]$")
Так вот, оказывается, мы почти приплыли. Осталось сделать последнее усилие и вот оно, счастье:
![$\[R_{\alpha \beta \mu \nu } = h_\alpha ^{\dot \alpha } h_\beta ^{\dot \beta } R_{\dot \alpha \dot \beta \mu \nu } \]$](https://dxdy.ru/math/6946965809563f3b22e0560e01719f7d82.png "$\[R_{\alpha \beta \mu \nu } = h_\alpha ^{\dot \alpha } h_\beta ^{\dot \beta } R_{\dot \alpha \dot \beta \mu \nu } \]$")
На последнем этепе для упрощения вычислений удобно величинам
![$\[\lambda _{\dot \beta \mu }^{\dot \alpha } \]$](https://dxdy.ru/math/6ce831311b9d4c00d3d0df9cfc98455782.png "$\[\lambda _{\dot \beta \mu }^{\dot \alpha } \]$")
сопоставить матрицы
![$\[\hat \lambda _\mu \]$](https://dxdy.ru/math/199c9fdeb84b170689b1a50baa2f935282.png "$\[\hat \lambda _\mu \]$")
так, чтобы индекс
![$\[{\dot \alpha }\]$](https://dxdy.ru/math/832b6ce1fe10bc48da4b391c57a3ec7e82.png "$\[{\dot \alpha }\]$")
нумеровал строки, а индекс
![$\[{\dot \beta }\]$](https://dxdy.ru/math/55cde5b20e0ca94481b4a8e79d1f79df82.png "$\[{\dot \beta }\]$")
- столбцы.
Тогда
![$\[R_{\dot \beta \mu \nu }^{\dot \alpha } \]$](https://dxdy.ru/math/cfd3196df7532e19bd7e33c2eb88508a82.png "$\[R_{\dot \beta \mu \nu }^{\dot \alpha } \]$")
сопоставляется матрица
![$\[\hat R_{\mu \nu } \]$](https://dxdy.ru/math/db96f19bbc33909ba12c88365d2209dc82.png "$\[\hat R_{\mu \nu } \]$")
и для последней справедливо выражение
![$\[\hat R_{\mu \nu } = \hat \lambda _{\nu ,\mu } - \hat \lambda _{\mu ,\nu } + \left[ {\hat \lambda _\mu ,\hat \lambda _\nu } \right]\]$](https://dxdy.ru/math/a8102428be65ae874a4c4db75bc2a04282.png "$\[\hat R_{\mu \nu } = \hat \lambda _{\nu ,\mu } - \hat \lambda _{\mu ,\nu } + \left[ {\hat \lambda _\mu ,\hat \lambda _\nu } \right]\]$")
![$\[ds^2 = e^{\nu (t,r)} dt^2 - e^{\lambda (t,r)} dr^2 - r^2 (d\theta ^2 + \sin ^2 \theta \cdot d\varphi ^2 )\]$](https://dxdy.ru/math/00eb4d904f49175f7f0d2a934f78a3c882.png "$\[ds^2 = e^{\nu (t,r)} dt^2 - e^{\lambda (t,r)} dr^2 - r^2 (d\theta ^2 + \sin ^2 \theta \cdot d\varphi ^2 )\]$")
![$\[x^0 = t,x^1 = r,x^2 = \theta ,x^3 = \varphi \]$](https://dxdy.ru/math/c53465889a76a7cdd5f398c0c7b7e32f82.png "$\[x^0 = t,x^1 = r,x^2 = \theta ,x^3 = \varphi \]$")
![$\[h_0^{\dot 0} = e^{\frac{\nu }{2}} ,h_1^{\dot 1} = e^{\frac{\lambda }{2}} ,h_2^{\dot 2} = r,h_3^{\dot 3} = r \cdot \sin \theta \]$](https://dxdy.ru/math/05e301781bb6250ad434567c0d98d5a382.png "$\[h_0^{\dot 0} = e^{\frac{\nu }{2}} ,h_1^{\dot 1} = e^{\frac{\lambda }{2}} ,h_2^{\dot 2} = r,h_3^{\dot 3} = r \cdot \sin \theta \]$")
![$\[g_{\dot \alpha \dot \beta } = Diag(1, - 1, - 1, - 1)\]$](https://dxdy.ru/math/1d70d36671008a68ac94f087b56dcf9882.png "$\[g_{\dot \alpha \dot \beta } = Diag(1, - 1, - 1, - 1)\]$")
![$\[\zeta _{\dot 0}^0 = e^{ - \frac{\nu }{2}} ,\zeta _{\dot 1}^1 = e^{ - \frac{\lambda }{2}} ,\zeta _{\dot 2}^2 = \frac{1}{r},\zeta _{\dot 3}^3 = \frac{1}{{r \cdot \sin \theta }}\]$](https://dxdy.ru/math/8d4a3d5aad796a3f6982c02cb727194782.png "$\[\zeta _{\dot 0}^0 = e^{ - \frac{\nu }{2}} ,\zeta _{\dot 1}^1 = e^{ - \frac{\lambda }{2}} ,\zeta _{\dot 2}^2 = \frac{1}{r},\zeta _{\dot 3}^3 = \frac{1}{{r \cdot \sin \theta }}\]$")
![$\[\omega _{01}^{\dot 0} = \frac{{\nu '}}{2}e^{\frac{\nu }{2}} ,\omega _{01}^{\dot 1} = - \frac{{\dot \lambda }}{2}e^{\frac{\lambda }{2}} ,\omega _{12}^{\dot 2} = - 1,\omega _{13}^{\dot 3} = - \sin \theta ,\omega _{23}^{\dot 3} = - r \cdot \cos \theta \]$](https://dxdy.ru/math/b630fa75aceaeedb6b2903224d345c5182.png "$\[\omega _{01}^{\dot 0} = \frac{{\nu '}}{2}e^{\frac{\nu }{2}} ,\omega _{01}^{\dot 1} = - \frac{{\dot \lambda }}{2}e^{\frac{\lambda }{2}} ,\omega _{12}^{\dot 2} = - 1,\omega _{13}^{\dot 3} = - \sin \theta ,\omega _{23}^{\dot 3} = - r \cdot \cos \theta \]$")
![$\[\omega _{001} = \frac{{\nu '}}{2}e^\nu ,\omega _{101} = \frac{{\dot \lambda }}{2}e^\lambda ,\omega _{212} = r,\omega _{313} = r \cdot \sin ^2 \theta ,\omega _{323} = r^2 \cdot \sin \theta \cos \theta \]$](https://dxdy.ru/math/d330c1cd2bc965a173b7888f42d23a3d82.png "$\[\omega _{001} = \frac{{\nu '}}{2}e^\nu ,\omega _{101} = \frac{{\dot \lambda }}{2}e^\lambda ,\omega _{212} = r,\omega _{313} = r \cdot \sin ^2 \theta ,\omega _{323} = r^2 \cdot \sin \theta \cos \theta \]$")
![$\[\lambda _{010} = \frac{{\nu '}}{2}e^\nu ,\lambda _{011} = \frac{{\dot \lambda }}{2}e^\lambda ,\lambda _{122} = r,\lambda _{133} = r \cdot \sin ^2 \theta ,\lambda _{233} = r^2 \cdot \sin \theta \cos \theta \]$](https://dxdy.ru/math/317298b0869ba6b65e6eda5d478084fd82.png "$\[\lambda _{010} = \frac{{\nu '}}{2}e^\nu ,\lambda _{011} = \frac{{\dot \lambda }}{2}e^\lambda ,\lambda _{122} = r,\lambda _{133} = r \cdot \sin ^2 \theta ,\lambda _{233} = r^2 \cdot \sin \theta \cos \theta \]$")
![$\[\lambda _{\dot 0\dot 10} = \frac{{\nu '}}{2}e^{\frac{{\nu - \lambda }}{2}} ,\lambda _{\dot 0\dot 11} = \frac{{\dot \lambda }}{2}e^{\frac{{\lambda - \nu }}{2}} ,\lambda _{\dot 1\dot 22} = e^{ - \frac{\lambda }{2}} ,\lambda _{\dot 1\dot 33} = \sin \theta \cdot e^{ - \frac{\lambda }{2}} ,\lambda _{\dot 2\dot 33} = \cos \theta \]$](https://dxdy.ru/math/a96da8d03fc04852969053924b46214d82.png "$\[\lambda _{\dot 0\dot 10} = \frac{{\nu '}}{2}e^{\frac{{\nu - \lambda }}{2}} ,\lambda _{\dot 0\dot 11} = \frac{{\dot \lambda }}{2}e^{\frac{{\lambda - \nu }}{2}} ,\lambda _{\dot 1\dot 22} = e^{ - \frac{\lambda }{2}} ,\lambda _{\dot 1\dot 33} = \sin \theta \cdot e^{ - \frac{\lambda }{2}} ,\lambda _{\dot 2\dot 33} = \cos \theta \]$")
![$\[\hat \lambda _0 = \frac{{\nu '}}{2}e^{\frac{{\nu - \lambda }}{2}} \cdot \hat 1,\hat \lambda _1 = \frac{{\dot \lambda }}{2}e^{\frac{{\lambda - \nu }}{2}} \cdot \hat 1,\hat \lambda _2 = - e^{ - \frac{\lambda }{2}} \cdot \hat 2,\hat \lambda _3 = - \sin \theta \cdot e^{ - \frac{\lambda }{2}} \cdot \hat 3 - \cos \theta \cdot \hat 4,\]$](https://dxdy.ru/math/f8f7c2a84d03bd02f87e381d04efc7e382.png "$\[\hat \lambda _0 = \frac{{\nu '}}{2}e^{\frac{{\nu - \lambda }}{2}} \cdot \hat 1,\hat \lambda _1 = \frac{{\dot \lambda }}{2}e^{\frac{{\lambda - \nu }}{2}} \cdot \hat 1,\hat \lambda _2 = - e^{ - \frac{\lambda }{2}} \cdot \hat 2,\hat \lambda _3 = - \sin \theta \cdot e^{ - \frac{\lambda }{2}} \cdot \hat 3 - \cos \theta \cdot \hat 4,\]$")
![\[\hat 1 \equiv \left( {\begin{array}{*{20}c} \cdot & 1 & \cdot & \cdot \\ 1 & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \end{array} } \right),\hat 2 \equiv \left( {\begin{array}{*{20}c} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & 1 & \cdot \\ \cdot & { - 1} & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \end{array} } \right),\hat 3 \equiv \left( {\begin{array}{*{20}c} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & 1 \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & { - 1} & \cdot & \cdot \\ \end{array} } \right),\hat 4 \equiv \left( {\begin{array}{*{20}c} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & 1 \\
\cdot & \cdot & { - 1} & \cdot \\ \end{array} } \right)\]](https://dxdy.ru/math/516b464f81db29b655945dfee9cfc14782.png "\[\hat 1 \equiv \left( {\begin{array}{*{20}c} \cdot & 1 & \cdot & \cdot \\ 1 & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \end{array} } \right),\hat 2 \equiv \left( {\begin{array}{*{20}c} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & 1 & \cdot \\ \cdot & { - 1} & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \end{array} } \right),\hat 3 \equiv \left( {\begin{array}{*{20}c} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & 1 \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & { - 1} & \cdot & \cdot \\ \end{array} } \right),\hat 4 \equiv \left( {\begin{array}{*{20}c} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & 1 \\
\cdot & \cdot & { - 1} & \cdot \\ \end{array} } \right)\]")
![$\[\hat \lambda _{\mu \nu } \equiv \left[ {\hat \lambda _\mu ,\hat \lambda _\nu } \right]\]$](https://dxdy.ru/math/ea9a7362fd70c8d9da4f54eb86e2c3e682.png "$\[\hat \lambda _{\mu \nu } \equiv \left[ {\hat \lambda _\mu ,\hat \lambda _\nu } \right]\]$")
![\[[\hat 1,\hat 2] = \left( {\begin{array}{*{20}c} \cdot & \cdot & 1 & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ 1 & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \end{array} } \right) \equiv \hat 5,[\hat 1,\hat 3] = \left( {\begin{array}{*{20}c} \cdot & \cdot & \cdot & 1 \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
1 & \cdot & \cdot & \cdot \\ \end{array} } \right) \equiv \hat 6,\[[\hat 1,\hat 4] = 0,[\hat 2,\hat 3] = - \hat 4,[\hat 2,\hat 4] = \hat 3\]\]](https://dxdy.ru/math/ab9da95b183c8ad3969c89b9b903e0bb82.png "\[[\hat 1,\hat 2] = \left( {\begin{array}{*{20}c} \cdot & \cdot & 1 & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ 1 & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \end{array} } \right) \equiv \hat 5,[\hat 1,\hat 3] = \left( {\begin{array}{*{20}c} \cdot & \cdot & \cdot & 1 \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
1 & \cdot & \cdot & \cdot \\ \end{array} } \right) \equiv \hat 6,\[[\hat 1,\hat 4] = 0,[\hat 2,\hat 3] = - \hat 4,[\hat 2,\hat 4] = \hat 3\]\]")
![\[\hat \lambda _{02} = - \frac{{\nu '}}{2}e^{\frac{\nu }{2} - \lambda } \cdot \hat 5,\hat \lambda _{03} = - \frac{{\nu '}}{2}\sin \theta \cdot e^{\frac{\nu }{2} - \lambda } \cdot \hat 6,\hat \lambda _{12} = - \frac{{\dot \lambda }}{2}e^{ - \frac{\nu }{2}} \cdot \hat 5,\]](https://dxdy.ru/math/1213f92eda4aec499ce614664f685d9d82.png "\[\hat \lambda _{02} = - \frac{{\nu '}}{2}e^{\frac{\nu }{2} - \lambda } \cdot \hat 5,\hat \lambda _{03} = - \frac{{\nu '}}{2}\sin \theta \cdot e^{\frac{\nu }{2} - \lambda } \cdot \hat 6,\hat \lambda _{12} = - \frac{{\dot \lambda }}{2}e^{ - \frac{\nu }{2}} \cdot \hat 5,\]")
![\[\hat \lambda _{13} = - \frac{{\dot \lambda }}{2}\sin \theta \cdot e^{ - \frac{\nu }{2}} \cdot \hat 6,\hat \lambda _{23} = - \sin \theta \cdot e^{ - \lambda } \cdot \hat 4 + \cos \theta \cdot e^{ - \frac{\lambda }{2}} \cdot \hat 3\]](https://dxdy.ru/math/c3bf830402380868bb47a5f0fdcf36dc82.png "\[\hat \lambda _{13} = - \frac{{\dot \lambda }}{2}\sin \theta \cdot e^{ - \frac{\nu }{2}} \cdot \hat 6,\hat \lambda _{23} = - \sin \theta \cdot e^{ - \lambda } \cdot \hat 4 + \cos \theta \cdot e^{ - \frac{\lambda }{2}} \cdot \hat 3\]")
![\[\hat R_{01} = \left\{ {\left( {\frac{{\dot \lambda }}
{2}e^{\frac{{\lambda - \nu }}
{2}} } \right)^ \cdot - \left( {\frac{{\nu '}}
{2}e^{\frac{{\nu - \lambda }}
{2}} } \right)^\prime } \right\} \cdot \hat 1\]](https://dxdy.ru/math/80ffa573553ee069305c46f21052c4c782.png "\[\hat R_{01} = \left\{ {\left( {\frac{{\dot \lambda }}
{2}e^{\frac{{\lambda - \nu }}
{2}} } \right)^ \cdot - \left( {\frac{{\nu '}}
{2}e^{\frac{{\nu - \lambda }}
{2}} } \right)^\prime } \right\} \cdot \hat 1\]")
![\[\hat R_{02} = \frac{{\dot \lambda }}
{2}e^{ - \frac{\lambda }
{2}} \cdot \hat 2 - \frac{{\nu '}}
{2}e^{\frac{\nu }
{2} - \lambda } \cdot \hat 5\]](https://dxdy.ru/math/cfef2b3d5fc4e447f92c5a5d7a5cb9a482.png "\[\hat R_{02} = \frac{{\dot \lambda }}
{2}e^{ - \frac{\lambda }
{2}} \cdot \hat 2 - \frac{{\nu '}}
{2}e^{\frac{\nu }
{2} - \lambda } \cdot \hat 5\]")
![\[\hat R_{03} = \left( {\frac{{\dot \lambda }}
{2}e^{ - \frac{\lambda }
{2}} \cdot \hat 3 - \frac{{\nu '}}
{2}e^{\frac{\nu }
{2} - \lambda } \cdot \hat 6} \right) \cdot \sin \theta \]](https://dxdy.ru/math/f68337f53e0d8c51c493848efd06b65982.png "\[\hat R_{03} = \left( {\frac{{\dot \lambda }}
{2}e^{ - \frac{\lambda }
{2}} \cdot \hat 3 - \frac{{\nu '}}
{2}e^{\frac{\nu }
{2} - \lambda } \cdot \hat 6} \right) \cdot \sin \theta \]")
![\[\hat R_{12} = \frac{{\lambda '}}
{2}e^{ - \frac{\lambda }
{2}} \cdot \hat 2 - \frac{{\dot \lambda }}
{2}e^{ - \frac{\nu }
{2}} \cdot \hat 5\]](https://dxdy.ru/math/ae6fe5774e03f33a4285d79e2446e65e82.png "\[\hat R_{12} = \frac{{\lambda '}}
{2}e^{ - \frac{\lambda }
{2}} \cdot \hat 2 - \frac{{\dot \lambda }}
{2}e^{ - \frac{\nu }
{2}} \cdot \hat 5\]")
![\[\hat R_{13} = \left( {\frac{{\lambda '}}
{2}e^{ - \frac{\lambda }
{2}} \cdot \hat 3 - \frac{{\dot \lambda }}
{2}e^{ - \frac{\nu }
{2}} \cdot \hat 6} \right) \cdot \sin \theta \]](https://dxdy.ru/math/e6534bcc063848219f7978965864536b82.png "\[\hat R_{13} = \left( {\frac{{\lambda '}}
{2}e^{ - \frac{\lambda }
{2}} \cdot \hat 3 - \frac{{\dot \lambda }}
{2}e^{ - \frac{\nu }
{2}} \cdot \hat 6} \right) \cdot \sin \theta \]")
![\[\hat R_{23} = \left( {e^{ - \lambda } - 1} \right) \cdot \sin \theta \cdot \hat 4\]](https://dxdy.ru/math/360ee802c1cf2c37c5629c065ee9bd5182.png "\[\hat R_{23} = \left( {e^{ - \lambda } - 1} \right) \cdot \sin \theta \cdot \hat 4\]")
![\[R_{\dot 101}^{\dot 0} = \left( {\frac{{\dot \lambda }}{2}e^{\frac{{\lambda - \nu }}
{2}} } \right)^ \cdot - \left( {\frac{{\nu '}}{2}e^{\frac{{\nu - \lambda }}{2}} } \right)^\prime ,R_{\dot 202}^{\dot 1} = \frac{{\dot \lambda }}{2}e^{ - \frac{\lambda }{2}} ,R_{\dot 202}^{\dot 0} = - \frac{{\nu '}}
{2}e^{\frac{\nu }{2} - \lambda } ,\]](https://dxdy.ru/math/f1fdf4779decd07c715e1141f49bd3e482.png "\[R_{\dot 101}^{\dot 0} = \left( {\frac{{\dot \lambda }}{2}e^{\frac{{\lambda - \nu }}
{2}} } \right)^ \cdot - \left( {\frac{{\nu '}}{2}e^{\frac{{\nu - \lambda }}{2}} } \right)^\prime ,R_{\dot 202}^{\dot 1} = \frac{{\dot \lambda }}{2}e^{ - \frac{\lambda }{2}} ,R_{\dot 202}^{\dot 0} = - \frac{{\nu '}}
{2}e^{\frac{\nu }{2} - \lambda } ,\]")
![\[R_{\dot 303}^{\dot 1} = \frac{{\dot \lambda }}{2}\sin \theta \cdot e^{ - \frac{\lambda }
{2}} ,R_{\dot 303}^{\dot 0} = - \frac{{\nu '}}{2}\sin \theta \cdot e^{\frac{\nu }{2} - \lambda } ,R_{\dot 212}^{\dot 1} = \frac{{\lambda '}}{2}e^{ - \frac{\lambda }{2}} ,\]](https://dxdy.ru/math/1490373be0aff631698759aceff2ef5982.png "\[R_{\dot 303}^{\dot 1} = \frac{{\dot \lambda }}{2}\sin \theta \cdot e^{ - \frac{\lambda }
{2}} ,R_{\dot 303}^{\dot 0} = - \frac{{\nu '}}{2}\sin \theta \cdot e^{\frac{\nu }{2} - \lambda } ,R_{\dot 212}^{\dot 1} = \frac{{\lambda '}}{2}e^{ - \frac{\lambda }{2}} ,\]")
![\[R_{\dot 212}^{\dot 0} = - \frac{{\dot \lambda }}{2}e^{ - \frac{\nu }{2}} ,R_{\dot 313}^{\dot 1} = \frac{{\lambda '}}{2}\sin \theta \cdot e^{ - \frac{\lambda }{2}} ,R_{\dot 313}^{\dot 0} = - \frac{{\dot \lambda }}{2}\sin \theta \cdot e^{ - \frac{\nu }{2}} ,\[R_{\dot 323}^{\dot 2} = \left( {1 - e^{ - \lambda } } \right) \cdot \sin \theta \]\]](https://dxdy.ru/math/00ba2a3a6e996eb68d676759d87929eb82.png "\[R_{\dot 212}^{\dot 0} = - \frac{{\dot \lambda }}{2}e^{ - \frac{\nu }{2}} ,R_{\dot 313}^{\dot 1} = \frac{{\lambda '}}{2}\sin \theta \cdot e^{ - \frac{\lambda }{2}} ,R_{\dot 313}^{\dot 0} = - \frac{{\dot \lambda }}{2}\sin \theta \cdot e^{ - \frac{\nu }{2}} ,\[R_{\dot 323}^{\dot 2} = \left( {1 - e^{ - \lambda } } \right) \cdot \sin \theta \]\]")
![\[R_{ \cdot \cdot 01}^{01} = \frac{1}{2}\left( {\nu '' + \nu '\frac{{\nu ' - \lambda '}}{2}} \right)e^{ - \lambda } - \frac{1}{2}\left( {\ddot \lambda + \dot \lambda \frac{{\dot \lambda - \dot \nu }}{2}} \right)e^{ - \nu } \](https://dxdy.ru/math/542f397d54b90f9ea47473f6229af2f682.png "\[R_{ \cdot \cdot 01}^{01} = \frac{1}{2}\left( {\nu '' + \nu '\frac{{\nu ' - \lambda '}}{2}} \right)e^{ - \lambda } - \frac{1}{2}\left( {\ddot \lambda + \dot \lambda \frac{{\dot \lambda - \dot \nu }}{2}} \right)e^{ - \nu } \")
![\[R_{ \cdot \cdot 02}^{12} = R_{ \cdot \cdot 03}^{13} = - \frac{{\dot \lambda }}{{2r}}e^{ - \lambda } ,R_{ \cdot \cdot 12}^{02} = R_{ \cdot \cdot 13}^{03} = \frac{{\dot \lambda }}{{2r}}e^{ - \nu } \]](https://dxdy.ru/math/5be4ce965734aef56ef7f26ba8f78c2582.png "\[R_{ \cdot \cdot 02}^{12} = R_{ \cdot \cdot 03}^{13} = - \frac{{\dot \lambda }}{{2r}}e^{ - \lambda } ,R_{ \cdot \cdot 12}^{02} = R_{ \cdot \cdot 13}^{03} = \frac{{\dot \lambda }}{{2r}}e^{ - \nu } \]")
![\[R_{ \cdot \cdot 02}^{02} = R_{ \cdot \cdot 03}^{03} = \frac{{\nu '}}{{2r}}e^{ - \lambda } ,R_{ \cdot \cdot 12}^{12} = R_{ \cdot \cdot 13}^{13} = - \frac{{\lambda '}}{{2r}}e^{ - \lambda } ,R_{ \cdot \cdot 23}^{23} = \frac{{e^{ - \lambda } - 1}}{{r^2 }}\]](https://dxdy.ru/math/ace32a54b0645acfa7046743d304c34482.png "\[R_{ \cdot \cdot 02}^{02} = R_{ \cdot \cdot 03}^{03} = \frac{{\nu '}}{{2r}}e^{ - \lambda } ,R_{ \cdot \cdot 12}^{12} = R_{ \cdot \cdot 13}^{13} = - \frac{{\lambda '}}{{2r}}e^{ - \lambda } ,R_{ \cdot \cdot 23}^{23} = \frac{{e^{ - \lambda } - 1}}{{r^2 }}\]")
![\[
R_{ \cdot \cdot \mu \nu }^{\alpha \beta } = \zeta _{\dot \alpha }^\alpha \zeta _{\dot \beta }^\beta R_{ \cdot \cdot \mu \nu }^{\dot \alpha \dot \beta }
\]](https://dxdy.ru/math/c64d073fa510c3691d8581b35bc9bab682.png "\[
R_{ \cdot \cdot \mu \nu }^{\alpha \beta } = \zeta _{\dot \alpha }^\alpha \zeta _{\dot \beta }^\beta R_{ \cdot \cdot \mu \nu }^{\dot \alpha \dot \beta }
\]")
![\[
\hat \lambda _\mu = \lambda _{\dot 1\mu }^{\dot 0} \cdot \hat 1 + \lambda _{\dot 2\mu }^{\dot 0} \cdot \hat 2 + \lambda _{\dot 3\mu }^{\dot 0} \cdot \hat 3 + \lambda _{\dot 2\mu }^{\dot 1} \cdot \hat 4 + \lambda _{\dot 3\mu }^{\dot 1} \cdot \hat 5 + \lambda _{\dot 3\mu }^{\dot 2} \cdot \hat 6
\]](https://dxdy.ru/math/c7c9b52f50418b348f91751cdbd9458082.png "\[
\hat \lambda _\mu = \lambda _{\dot 1\mu }^{\dot 0} \cdot \hat 1 + \lambda _{\dot 2\mu }^{\dot 0} \cdot \hat 2 + \lambda _{\dot 3\mu }^{\dot 0} \cdot \hat 3 + \lambda _{\dot 2\mu }^{\dot 1} \cdot \hat 4 + \lambda _{\dot 3\mu }^{\dot 1} \cdot \hat 5 + \lambda _{\dot 3\mu }^{\dot 2} \cdot \hat 6
\]")
![$\[\hat 1 - \hat 6\]$](https://dxdy.ru/math/a880d4bb3219ba88220e0836397280b182.png "$\[\hat 1 - \hat 6\]$")
![\[
\begin{array}{*{20}c}
{} &\vline & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 \\
\hline
1 &\vline & \cdot & 3 & 2 & 5 & 4 \\
2 &\vline & 3 & \cdot & { - 1} & 6 & \cdot \\
3 &\vline & { - 2} & { - 1} & \cdot & \cdot & {} \\
4 &\vline & 5 & { - 6} & \cdot & \cdot & {} \\
5 &\vline & { - 4} & \cdot & {} & {} & \cdot \\
\end{array}
\]](https://dxdy.ru/math/f0451777c8d08655f7327b39f84728ea82.png "\[
\begin{array}{*{20}c}
{} &\vline & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 \\
\hline
1 &\vline & \cdot & 3 & 2 & 5 & 4 \\
2 &\vline & 3 & \cdot & { - 1} & 6 & \cdot \\
3 &\vline & { - 2} & { - 1} & \cdot & \cdot & {} \\
4 &\vline & 5 & { - 6} & \cdot & \cdot & {} \\
5 &\vline & { - 4} & \cdot & {} & {} & \cdot \\
\end{array}
\]")
![$\[[\hat 2,\hat 3] = \hat 6\]$](https://dxdy.ru/math/57277be0637eca1a7488bd80e669d15682.png "$\[[\hat 2,\hat 3] = \hat 6\]$")