Вычисляем кривизну...

[Утундрий]

Вот такая вариация известных способов придумалась. Достаточно простой на мой взгляд алгоритм и без страшных терминов. Знай себе вычисляй... И, кстати, забавная формула для матрицы кривизны получилась, Янга-Миллса напоминает )))

Итак, приступим. Привожу порядок действий без обоснований.

Представим метрику в виде

\[g_{\mu \nu } = h_\mu ^{\dot \alpha } h_\nu ^{\dot \beta } g_{\dot \alpha \dot \beta } \]

, где

\[g_{\dot \alpha \dot \beta } \]

- постоянная невырожденная матрица (как обычные так и пунктирные индексы пробегают значения от $1$ до $n$).

Обращением матриц $h$ получаем $\[\zeta \]$ так чтобы выполнялось $\[h_\mu ^{\dot \alpha } \zeta _{\dot \beta }^\mu = \delta _{\dot \beta }^{\dot \alpha } \]$

Находим все $\[\omega _{\alpha \beta }^{\dot \gamma } = - \omega _{\beta \alpha }^{\dot \gamma } = h_{\alpha ,\beta }^{\dot \gamma } - h_{\beta ,\alpha }^{\dot \gamma } \]$
затем все $\[\omega _{\alpha \beta \sigma } = \omega _{\alpha \beta }^{\dot \gamma } h_{\dot \gamma \sigma } \]$
после чего находим $\[\lambda _{\alpha \beta \sigma } = - \lambda _{\beta \alpha \sigma } = \frac{1}{2}\left( {\omega _{\alpha \beta \sigma } + \omega _{\sigma \beta \alpha } - \omega _{\sigma \alpha \beta } } \right)\]$
и наконец $\[\lambda _{\dot \alpha \dot \beta \sigma } = \zeta _{\dot \alpha }^\alpha \zeta _{\dot \beta }^\beta \lambda _{\alpha \beta \sigma } \]$
Теперь поднимем первый пунктирный индекс у лямбд с помощью $\[g^{\dot \alpha \dot \beta } \]$ и образуем величины
$\[R_{\dot \beta \mu \nu }^{\dot \alpha } = \lambda _{\dot \beta \nu ,\mu }^{\dot \alpha } - \lambda _{\dot \beta \mu ,\nu }^{\dot \alpha } + \lambda _{\dot \gamma \mu }^{\dot \alpha } \lambda _{\dot \beta \nu }^{\dot \gamma } - \lambda _{\dot \gamma \nu }^{\dot \alpha } \lambda _{\dot \beta \mu }^{\dot \gamma } \]$
Так вот, оказывается, мы почти приплыли. Осталось сделать последнее усилие и вот оно, счастье:
$\[R_{\alpha \beta \mu \nu } = h_\alpha ^{\dot \alpha } h_\beta ^{\dot \beta } R_{\dot \alpha \dot \beta \mu \nu } \]$
На последнем этепе для упрощения вычислений удобно величинам $\[\lambda _{\dot \beta \mu }^{\dot \alpha } \]$ сопоставить матрицы $\[\hat \lambda _\mu \]$ так, чтобы индекс $\[{\dot \alpha }\]$ нумеровал строки, а индекс $\[{\dot \beta }\]$ - столбцы.
Тогда $\[R_{\dot \beta \mu \nu }^{\dot \alpha } \]$ сопоставляется матрица $\[\hat R_{\mu \nu } \]$ и для последней справедливо выражение
$\[\hat R_{\mu \nu } = \hat \lambda _{\nu ,\mu } - \hat \lambda _{\mu ,\nu } + \left[ {\hat \lambda _\mu ,\hat \lambda _\nu } \right]\]$

[Утундрий]

Пример 1

$\[ds^2 = e^{\nu (t,r)} dt^2 - e^{\lambda (t,r)} dr^2 - r^2 (d\theta ^2 + \sin ^2 \theta \cdot d\varphi ^2 )\]$, $\[x^0 = t,x^1 = r,x^2 = \theta ,x^3 = \varphi \]$

Положим $\[h_0^{\dot 0} = e^{\frac{\nu }{2}} ,h_1^{\dot 1} = e^{\frac{\lambda }{2}} ,h_2^{\dot 2} = r,h_3^{\dot 3} = r \cdot \sin \theta \]$, $\[g_{\dot \alpha \dot \beta } = Diag(1, - 1, - 1, - 1)\]$
И поехали...
$\[\zeta _{\dot 0}^0 = e^{ - \frac{\nu }{2}} ,\zeta _{\dot 1}^1 = e^{ - \frac{\lambda }{2}} ,\zeta _{\dot 2}^2 = \frac{1}{r},\zeta _{\dot 3}^3 = \frac{1}{{r \cdot \sin \theta }}\]$
$\[\omega _{01}^{\dot 0} = \frac{{\nu '}}{2}e^{\frac{\nu }{2}} ,\omega _{01}^{\dot 1} = - \frac{{\dot \lambda }}{2}e^{\frac{\lambda }{2}} ,\omega _{12}^{\dot 2} = - 1,\omega _{13}^{\dot 3} = - \sin \theta ,\omega _{23}^{\dot 3} = - r \cdot \cos \theta \]$
$\[\omega _{001} = \frac{{\nu '}}{2}e^\nu ,\omega _{101} = \frac{{\dot \lambda }}{2}e^\lambda ,\omega _{212} = r,\omega _{313} = r \cdot \sin ^2 \theta ,\omega _{323} = r^2 \cdot \sin \theta \cos \theta \]$
$\[\lambda _{010} = \frac{{\nu '}}{2}e^\nu ,\lambda _{011} = \frac{{\dot \lambda }}{2}e^\lambda ,\lambda _{122} = r,\lambda _{133} = r \cdot \sin ^2 \theta ,\lambda _{233} = r^2 \cdot \sin \theta \cos \theta \]$
$\[\lambda _{\dot 0\dot 10} = \frac{{\nu '}}{2}e^{\frac{{\nu - \lambda }}{2}} ,\lambda _{\dot 0\dot 11} = \frac{{\dot \lambda }}{2}e^{\frac{{\lambda - \nu }}{2}} ,\lambda _{\dot 1\dot 22} = e^{ - \frac{\lambda }{2}} ,\lambda _{\dot 1\dot 33} = \sin \theta \cdot e^{ - \frac{\lambda }{2}} ,\lambda _{\dot 2\dot 33} = \cos \theta \]$
или в матричном виде:
$\[\hat \lambda _0 = \frac{{\nu '}}{2}e^{\frac{{\nu - \lambda }}{2}} \cdot \hat 1,\hat \lambda _1 = \frac{{\dot \lambda }}{2}e^{\frac{{\lambda - \nu }}{2}} \cdot \hat 1,\hat \lambda _2 = - e^{ - \frac{\lambda }{2}} \cdot \hat 2,\hat \lambda _3 = - \sin \theta \cdot e^{ - \frac{\lambda }{2}} \cdot \hat 3 - \cos \theta \cdot \hat 4,\]$
где

\[\hat 1 \equiv \left( {\begin{array}{*{20}c} \cdot & 1 & \cdot & \cdot \\ 1 & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \end{array} } \right),\hat 2 \equiv \left( {\begin{array}{*{20}c} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & 1 & \cdot \\ \cdot & { - 1} & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \end{array} } \right),\hat 3 \equiv \left( {\begin{array}{*{20}c} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & 1 \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & { - 1} & \cdot & \cdot \\ \end{array} } \right),\hat 4 \equiv \left( {\begin{array}{*{20}c} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & 1 \\ \cdot & \cdot & { - 1} & \cdot \\ \end{array} } \right)\]

Теперь считаем только те коммутаторы, которые будут нужны для вычисления $\[\hat \lambda _{\mu \nu } \equiv \left[ {\hat \lambda _\mu ,\hat \lambda _\nu } \right]\]$

\[[\hat 1,\hat 2] = \left( {\begin{array}{*{20}c} \cdot & \cdot & 1 & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ 1 & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \end{array} } \right) \equiv \hat 5,[\hat 1,\hat 3] = \left( {\begin{array}{*{20}c} \cdot & \cdot & \cdot & 1 \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ 1 & \cdot & \cdot & \cdot \\ \end{array} } \right) \equiv \hat 6,\[[\hat 1,\hat 4] = 0,[\hat 2,\hat 3] = - \hat 4,[\hat 2,\hat 4] = \hat 3\]\]

так что

\[\hat \lambda _{02} = - \frac{{\nu '}}{2}e^{\frac{\nu }{2} - \lambda } \cdot \hat 5,\hat \lambda _{03} = - \frac{{\nu '}}{2}\sin \theta \cdot e^{\frac{\nu }{2} - \lambda } \cdot \hat 6,\hat \lambda _{12} = - \frac{{\dot \lambda }}{2}e^{ - \frac{\nu }{2}} \cdot \hat 5,\]

\[\hat \lambda _{13} = - \frac{{\dot \lambda }}{2}\sin \theta \cdot e^{ - \frac{\nu }{2}} \cdot \hat 6,\hat \lambda _{23} = - \sin \theta \cdot e^{ - \lambda } \cdot \hat 4 + \cos \theta \cdot e^{ - \frac{\lambda }{2}} \cdot \hat 3\]

и наконец

\[\hat R_{01} = \left\{ {\left( {\frac{{\dot \lambda }} {2}e^{\frac{{\lambda - \nu }} {2}} } \right)^ \cdot - \left( {\frac{{\nu '}} {2}e^{\frac{{\nu - \lambda }} {2}} } \right)^\prime } \right\} \cdot \hat 1\]

\[\hat R_{02} = \frac{{\dot \lambda }} {2}e^{ - \frac{\lambda } {2}} \cdot \hat 2 - \frac{{\nu '}} {2}e^{\frac{\nu } {2} - \lambda } \cdot \hat 5\]

\[\hat R_{03} = \left( {\frac{{\dot \lambda }} {2}e^{ - \frac{\lambda } {2}} \cdot \hat 3 - \frac{{\nu '}} {2}e^{\frac{\nu } {2} - \lambda } \cdot \hat 6} \right) \cdot \sin \theta \]

\[\hat R_{12} = \frac{{\lambda '}} {2}e^{ - \frac{\lambda } {2}} \cdot \hat 2 - \frac{{\dot \lambda }} {2}e^{ - \frac{\nu } {2}} \cdot \hat 5\]

\[\hat R_{13} = \left( {\frac{{\lambda '}} {2}e^{ - \frac{\lambda } {2}} \cdot \hat 3 - \frac{{\dot \lambda }} {2}e^{ - \frac{\nu } {2}} \cdot \hat 6} \right) \cdot \sin \theta \]

\[\hat R_{23} = \left( {e^{ - \lambda } - 1} \right) \cdot \sin \theta \cdot \hat 4\]

или в компонентах

\[R_{\dot 101}^{\dot 0} = \left( {\frac{{\dot \lambda }}{2}e^{\frac{{\lambda - \nu }} {2}} } \right)^ \cdot - \left( {\frac{{\nu '}}{2}e^{\frac{{\nu - \lambda }}{2}} } \right)^\prime ,R_{\dot 202}^{\dot 1} = \frac{{\dot \lambda }}{2}e^{ - \frac{\lambda }{2}} ,R_{\dot 202}^{\dot 0} = - \frac{{\nu '}} {2}e^{\frac{\nu }{2} - \lambda } ,\]

\[R_{\dot 303}^{\dot 1} = \frac{{\dot \lambda }}{2}\sin \theta \cdot e^{ - \frac{\lambda } {2}} ,R_{\dot 303}^{\dot 0} = - \frac{{\nu '}}{2}\sin \theta \cdot e^{\frac{\nu }{2} - \lambda } ,R_{\dot 212}^{\dot 1} = \frac{{\lambda '}}{2}e^{ - \frac{\lambda }{2}} ,\]

\[R_{\dot 212}^{\dot 0} = - \frac{{\dot \lambda }}{2}e^{ - \frac{\nu }{2}} ,R_{\dot 313}^{\dot 1} = \frac{{\lambda '}}{2}\sin \theta \cdot e^{ - \frac{\lambda }{2}} ,R_{\dot 313}^{\dot 0} = - \frac{{\dot \lambda }}{2}\sin \theta \cdot e^{ - \frac{\nu }{2}} ,\[R_{\dot 323}^{\dot 2} = \left( {1 - e^{ - \lambda } } \right) \cdot \sin \theta \]\]

Возвращаясь к обычным индексам и проводя ряд несложных махинаций, окончательно получаем
\[R_{ \cdot \cdot 01}^{01} = \frac{1}{2}\left( {\nu '' + \nu '\frac{{\nu ' - \lambda '}}{2}} \right)e^{ - \lambda } - \frac{1}{2}\left( {\ddot \lambda + \dot \lambda \frac{{\dot \lambda - \dot \nu }}{2}} \right)e^{ - \nu } \

\[R_{ \cdot \cdot 02}^{12} = R_{ \cdot \cdot 03}^{13} = - \frac{{\dot \lambda }}{{2r}}e^{ - \lambda } ,R_{ \cdot \cdot 12}^{02} = R_{ \cdot \cdot 13}^{03} = \frac{{\dot \lambda }}{{2r}}e^{ - \nu } \]

\[R_{ \cdot \cdot 02}^{02} = R_{ \cdot \cdot 03}^{03} = \frac{{\nu '}}{{2r}}e^{ - \lambda } ,R_{ \cdot \cdot 12}^{12} = R_{ \cdot \cdot 13}^{13} = - \frac{{\lambda '}}{{2r}}e^{ - \lambda } ,R_{ \cdot \cdot 23}^{23} = \frac{{e^{ - \lambda } - 1}}{{r^2 }}\]

[ИгорЪ]

Утундрий в сообщении #187837 писал(а):

Вот такая вариация известных способов придумалась. Достаточно простой на мой взгляд алгоритм и без страшных терминов. Знай себе вычисляй... И, кстати, забавная формула для матрицы кривизны получилась, Янга-Миллса напоминает )))

Вычислений вроде не меньше чем обычно, да и ЯМ кривизна всегда была похожа на риманову кривизну:обе есть коомутаторы ковариантных производных, по сути это одно и тоже только расслоения разные. М.б. в задачах с особыми симметриями, например конформной, этот способ будет выгоден?

[Утундрий]

Да нет, для симметричных задач лучше пользоваться соображениями симметрии) Здесь же тупое вычисление "в лоб". На мой взгляд, вычисления гораздо проще чем при стандартном подходе - через связности. Просто за счет того, что все такое антисимметричненькое и например для $n=4$ перебирать всюду нужно по $6$ вариантов, а не по $10$.

[Munin]

Я не понял, за счёт чего упрощение, и где прочитать про тот аппарат, который вы используете.

[Утундрий]

Munin писал(а):

Я не понял, за счёт чего упрощение, и где прочитать про тот аппарат, который вы используете.

Это нужно несколько примеров просчитать и так и этак, чтобы понять в чем именно преимущество... Да попробуйте сами хоть для Фридмана найти все компоненты кривизны предложенным методом и через связности. Только чур - не пользоваться рассуждениями вроде "Из соображений симметрии заранее ясно, что это равно нулю, а это вот мы запишем сразу, не считая..."! )

В ЛЛ2 есть глава о тетрадном представлении, в трехтомнике Мизнера тоже что-то похожее имеется.

P.S. Разумеется, это даже и близко не стояло к методам типа Ньюмена-Пенроуза и никаких особых преимуществ при нахождении решений уравнений Эйнштейна, конечно же не дает. Это просто схема вычисления кривизны по явно заданной метрике, придерживаясь которой по мере выкладок вам придется тянуть за собой меньше математического мусора, который в конце все равно сократился бы.

[Утундрий]

Хе, у Шмутцера такой подход обзывается процедурой Картана. Всегда шарахался от этих дифференциальных форм и похоже зря ( А, впрочем, не в названии суть. Работает и ладно.

Сделаю еще парочку добавлений.

Первое. Наверное будет все-таки удобнее считать сразу компоненты

\[ R_{ \cdot \cdot \mu \nu }^{\alpha \beta } = \zeta _{\dot \alpha }^\alpha \zeta _{\dot \beta }^\beta R_{ \cdot \cdot \mu \nu }^{\dot \alpha \dot \beta } \]

.
И второе. В случае, когда выбрано $\[g_{\dot \alpha \dot \beta } = Diag(1, - 1, - 1, - 1)\]$ можно сильно облегчить себе жизнь, воспользовавшись следующим представлением:

\[ \hat \lambda _\mu = \lambda _{\dot 1\mu }^{\dot 0} \cdot \hat 1 + \lambda _{\dot 2\mu }^{\dot 0} \cdot \hat 2 + \lambda _{\dot 3\mu }^{\dot 0} \cdot \hat 3 + \lambda _{\dot 2\mu }^{\dot 1} \cdot \hat 4 + \lambda _{\dot 3\mu }^{\dot 1} \cdot \hat 5 + \lambda _{\dot 3\mu }^{\dot 2} \cdot \hat 6 \]

Матрицы $\[\hat 1 - \hat 6\]$ в компонентах не расписываю, ввиду их очевидности.
Возникающие при вычислении $\[\hat R_{\mu \nu } \]$ коммутаторы берутся из простой таблички "умножения":

\[ \begin{array}{*{20}c} {} &\vline & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 \\ \hline 1 &\vline & \cdot & 3 & 2 & 5 & 4 \\ 2 &\vline & 3 & \cdot & { - 1} & 6 & \cdot \\ 3 &\vline & { - 2} & { - 1} & \cdot & \cdot & {} \\ 4 &\vline & 5 & { - 6} & \cdot & \cdot & {} \\ 5 &\vline & { - 4} & \cdot & {} & {} & \cdot \\ \end{array} \]

так, например, $\[[\hat 2,\hat 3] = \hat 6\]$ и т.д.