Bilinear function

[Солунац]

Let $ord(f;z_0)=1$ and $f(z)$ is a $1-1$ regular function in $\mathbb{C}-\{z_0\}$. If $\lim\limits_{z\to\infty} f(z) < \infty$ then $f$ is bilinear function. Prove.

Thanks.

[Хорхе]

What is "ord"? $f$ has a simple pole at $z_0$?

Doesn't matter, actually.
Anyway, you may consider $f(1/(z-z_0))$ and prove that it's linear.

[Brukvalub]

Мне тоже задача показалась, мягко говоря, странной...
Да и что такое билинейная функция одного комплесного переменного, я не проходил. Может, "дробно-линейная"?

[gris]

А как перевести на английский "дробно-линейная функция"?
Linear rational function? Встречается, вроде бы, редко.
Ясно, что это rational function, где оба полинома линейны, но есть ли специальное название?
Может быть bilinear употребляется и в таком смысле?

[Brukvalub]

gris в сообщении #187621 писал(а):

А как перевести на английский "дробно-линейная функция"?

У басурман для этого есть устоявшийся термин: Мёбиусово отображение".

[Алексей К.]

В английском переводе (1965) двухтомника Маркушевича дробно-линейное отображение переведено как fractional linear transformation. См. также Wolfram - Linear Fractional Transformation

[Солунац]

Bilinear function (of one complex variable) = Преобразование Мёбиуса

[gris]

Действительно.

"...is called a bilinear transformation, a Möbius transformation, or a linear fractional transformation."

Пруфлинк http://math.fullerton.edu/mathews/c2003 ... onMod.html

[Солунац]

Хорхе писал(а):

What is "ord"? $f$ has a simple pole at $z_0$?

It means that $f(z)$ has a null - $z_0$, of order 1. It's just a way of writing it that I have seen somewhere and I do not know if it is actually correct.

[ewert]

Наверное, всё-таки не нуль, а именно полюс первого порядка -- иначе было бы бессмысленным замечание про регулярность в $\mathbb C\setminus\{z_0\}.$

Тогда так. Умножая на $(z-z_0)$, получаем целую функцию, т.е. регулярную на всей комплексной плоскости. И эта функция растёт на бесконечности не быстрее первой степени аргумента. А есть теорема: если целая функция растёт не быстрее некоторой степени, то это -- многочлен соответствующей степени. (Это -- обобщённая теорема Лиувилля, и следует она из неравенств Коши для производных.)

Т.е. получается, что функция $f(z)\cdot(z-z_0)$ -- линейная, вот и всё.