Задачка по динамическим системам

[observer]

Для уравнения
$x''+x=\epsilon x'(-1+bx^2-x^4)$
необходимо проанализировать существование периодических орбит как функций от b, ( $\epsilon$ - параметер).
Что тут можно сделать? Я так понимаю первый шаг - приведение к системе первого порядка.
Спасибо.

[Someone]

observer писал(а):

Для уравнения
$x''+x=\epsilon x'(-1+bx^2-x^4)$
необходимо проанализировать существование периодических орбит как функций от b, ( $\epsilon$ - параметер).
Что тут можно сделать? Я так понимаю первый шаг - приведение к системе первого порядка.
Спасибо.

А.А.Андронов, Е.А.Леонтович, И.И.Гордон, А.Г.Майер. Качественная теория динамических систем второго порядка. "Наука", Москва, 1966.
А.А.Андронов, Е.А.Леонтович, И.И.Гордон, А.Г.Майер. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. "Наука", Москва, 1967.

[V.V.]

observer писал(а):

Для уравнения
$x''+x=\epsilon x'(-1+bx^2-x^4)$
необходимо проанализировать существование периодических орбит как функций от b, ( $\epsilon$ - параметер).
Что тут можно сделать? Я так понимаю первый шаг - приведение к системе первого порядка.
Спасибо.

Будем рассматривать уравнение
$x''+x=\varepsilon f(x,x',\varepsilon)$, $f\in C^k$, $k\ge1$

Теорема.
Рассмотрим функцию
$P(a)=\int\limits_0^{2\pi} f(a\cos s,-a\sin s,0)\sin s ds$.
Для существования при малых $\varepsilon$ периодического решения, стремящегося к $a_0\cos t$ при $\varepsilon\to 0$ необходимо и достаточно, чтобы $P(a_0)=0$, $P'(a_0)\ne 0$. В случае
$\varepsilon P'(a_0)>0$ это решение является устойчивым предельным циклом на фазовой плоскости, а в случае $\varepsilon P'(a_0)<0$ - неустойчивым.

Замечание.
Период периодического решения возмущенного уравнения близок к периоду периодического решения невозмущенного уравнения, но вовсе не обязательно равен ему.