интересное равенство!!!!

[kekocaumay]

Помогите мне доказать формулу
$[ln2]+[ln3]+....+[lnn]+[e]+[e^2]+...[e^k]=nk$
где $k=[lnn]$

[Gafield]

По индукции.

[kekocaumay]

Как решить по индукции!!!

[ИСН]

(Полагаю, скобки - это $\lfloor...\rfloor$, а не $\lceil...\rceil$. Whatever.)
Да, действительно, выражение не лишено некоторого изящества. Если верно. Проверять лень.
Чуть подробнее: когда n повышается на 1, то k либо остаётся как было, либо тоже шагает на 1. В первом случае, левая часть увеличивается на ..., а правая - на ... . Во втором ...

[gris]

$[\ln n]$ изменяется на 1 именно на $n=[e^k]$.
Индукцию надо проводить по $k$.

[Мама я дебил]

ничего не скажешь, равенство интересное. но как доказать я не знаю.

[Nilenbert]

Требуется доказать равенство

$$ \sum_{j=1}^{n}[\ln j]+\sum_{k=1}^{[\ln n]}e^k=n[\ln n] $$

Ну, можно например так - рассмотрим прямоугольник с вершинами $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (n+\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (n+\frac{1}{2}, [\ln n]+\frac{1}{2}), (\frac{1}{2}), [\ln n]+\frac{1}{2}))$ и посчитать сколько точек с целыми координатами будет выше или ниже кривой $y=e^x$, а потом сложить эти суммы и учесть что всего их в прямоугольнике $n[\ln n]$