Предел!!!

[daogiauvang]

Найти предел
$ \lim\limits_{ n \to \infty} \frac{2^2-1}{2^2+1}\frac{3^3-1}{3^3+1} \cdots \frac{n^n-1}{n^n+1} $

[gris]

Если взять логарифм, то не корень ли из трёх получится?

PS немного запутался. Предел произведения - логарифм корня из трёх.

[sergey1]

Сомнительно, каждый множитель меньше 1

[daogiauvang]

sergey1 писал(а):

Сомнительно, каждый множитель меньше 1

Да, предел обязательно лежит в интервале $(0,1)$

[gris]

Извиняюсь. Я хотел сказать, что предел произведения равняется логарифму от корня из трёх, но написал не то.

[Gafield]

Можно попробовать взять логарифм, разложить каждое слагаемое в ряд, а затем еще раз разложить. Сгруппировав слагаемые по-другому, например, переставив местами порядок суммирования, можно попробовать получить другие предстваления в виде ряда. Однако совсем неочевидно, что можно получить что-то в замкнутой форме. Функция $n^n$ быстро растет, так что произведение получается нерегулярным. Все равно что туда подставить $n!$ и ожидать чего-то хорошего.

Откуда такая задача? Может там условие неточно записано?. Если заменить $n^n$ на $n^2$, то получится хороший ответ.

[Extremal]

Gafield процессе перестоновки сумировании придется искать сумы типа
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{np}}
где p целые числа
а находить такие суммы по сложности нечем не отличается от исходной задачи .

[Nxx]

А разве эта задача имеет какое-то решение, которое может быть выражено с использованием основных констант и функций?

[Gafield]

Имхо, сомнительно. Это вопрос к автору темы. И вообще, согласно правилам раздела, для начала у него надо потребовать, чтобы сам порешал и здесь изложил