Кривизна

[neo66]

По моим расчетам кривизна кривой $r(t)=e^t(\sin t,\cos t,1)$ равна $k(t)=\frac {\sqrt 5} {3\sqrt 2} e^{-t}$.

В задачнике Мищенко, Соловьев, Фоменко (задача $4.9$в) дан другой ответ - $k(t)=\frac {\sqrt 2} {3} e^{-t}$. Кто из нас ошибся?

[Алексей К.]

Ошиблись, похоже, Вы.
Числитель: $\sqrt6 e^{2t}$. Знаменатель: $(x'^2+y'^2+z'^2)^{3/2}=3\sqrt3 e^{3t}$.

[neo66]

Спасибо! Понял, где ошибся.

[neo66]

Нет, что-то я поторопился понять.

$r=e^t(\sin t,\cos t,1)$

$r'=e^t(\sqrt2 \sin (t+\frac \pi 4),\sqrt2 \cos (t+\frac \pi 4),1)$

$r''=e^t(2 \cos t,-2 \sin t,1)$

$k= \frac {|[r',r'']|} {|r'|^3}=\frac {e^{2t}\sqrt 3 \sqrt 5 \frac 1 \sqrt 2 } {e^{3t}3\sqrt 3}$

Где ошибка?

[Алексей К.]

В числителе --- реально векторное произведение (модуль), или случаем, скалярное сосчиталось?

Добавлено спустя 29 минут 47 секунд:

> 
> x:=exp(t)*sin(t): y:=exp(t)*cos(t): z:=exp(t):
> x1:=diff(x,t);   y1:=diff(y,t);   z1:=diff(z,t);
  x1 := exp(t) sin(t) + exp(t) cos(t);  y1 := exp(t) cos(t) - exp(t) sin(t);  z1 := exp(t);

> x2:=diff(x,t,t); y2:=diff(y,t,t); z2:=diff(z,t,t);
  x2 := 2 exp(t) cos(t)    y2 := - 2 exp(t) sin(t)    z2 := exp(t)

> up:=sqrt(expand(simplify( (y2*x1-y1*x2)^2+(z2*y1-z1*y2)^2+(x2*z1-x1*z2)^2 )));
                                   1/2        4 1/2
                            up := 6    (exp(t) )

> dw:=expand(simplify( x1^2+y1^2+z1^2 ));
                                              2
                                dw := 3 exp(t)

> radsimp( up/dw^(3/2) );
                                         1/2
                                        2
                                   1/3 ------
                                       exp(t)

[neo66]

Да, мне почему-то показалось, что векторы $r'$ и $r''$ повернуты относительно друг друга на $\frac \pi 4$. А через координаты было лень считать. Спасибо.

[Алексей К.]

Ой, и мне тоже было немного лень...