Замена в тройном интеграле

[t_dream]

важен порядок интегрирования, если мы возьмем для простоты случай $\vec a=\vec b, \quad \nu=\mu=1/2,\quad p=q=0$, делаем полярную замену
Конечно, если полученный интеграл сначала проинтегрировать по $r$, то он расходится, но если мы сначала проинтегрируем, по углу, то получим, что интеграл равен нулю и по $r$ мы уже интегрируем нулевую функцию
так что можно утверждать, что в смысле "главного" значения этот интеграл существует

[Gafield]

Подинтегральная функция положительна, так что интеграл по угловым переменным равным нулю не может.
Если к

t_dream писал(а):

\vec=\vec b \nu=\mu=1/2, p=q=0

добавим $\vec a=\vec b=0$, то получится функция $|x|^{-2}$. Интеграл от нее по угловым координатам будет равен $4\pi$ - площади единичной сферы.

Так что исходный интеграл сходится на бесконечности при $\mu+\nu>3/2$. А для сходимости в $\vec a$, если $\mu\ge3/2$, надо еще потребовать, чтобы $p\neq0$ и аналогично в $\vec b$.

[t_dream]

Пусть
$a=b$,
$p=q=0, \nu=\mu=1/2$

$$ I_p=\int\limits_{R^3}\frac{dxdydz} {(x-a_x)^2+(y-a_y)^2+(z-a_z)^2}= \int\limits_{R^3}\frac{dxdydz} {x^2+y^2+z^2}= \int\limits_0^r\int\limits^{2\pi}_{0}\int\limits_0^{\pi} \frac{r^2\sin\varphi dr d\varphi d\phi}{r}=$$ $$ =\int\limits_0^r\int\limits^{2\pi}_{0}\int\limits_0^{\pi} r\sin\varphi dr d\varphi d\phi= \int\limits_0^r\int\limits^{2\pi}_{0}\int\limits_0^{\pi} r\sin\varphi dr d\varphi d\phi= \int\limits_0^r\int\limits^{2\pi}_{0} r(-\cos\varphi)\biggl|^{\pi}_{0} dr d\phi= \int\limits_0^r\int\limits^{2\pi}_{0} r\cdot 0 dr d\phi $$

конечно если интегрировать сначала по $r$ будет расходимость

[Gafield]

Ошибка. В подстановке будет не $0$, а $2$. Что и неудивительно, поскольку синус на $(0,\pi)$ положителен. Да и без подсчетов это ясно, см. мой пост выше.

ЗЫ Еще $r$ в знаменателе поткрялось.

[ddn]

t_dream писал(а):

В книге Прудникова, Бычкова и Марычева есть следующий интегральное равенство, хотелось бы узнать с помощью какой замены переменных оно получено
\int\limits^\infty_{-\infty}\dots \int\limits^\infty_{-\infty}\frac{dx}{(p^2+(\vec x-\vec a)^2)^\mu(q^2+(\vec x-\vec b)^2)^\nu}=\frac{\pi^{n/2}\Gamma(\mu+\nu-n/2)}{\Gamma(\mu)\Gamma(\nu)}\int\limits^1_0\frac{t^{\mu-1}(1-t)^{\nu-1}dt}{[p^2t+q^2(1-t)+t(1-t)(\vec a-\vec b)^2]^{\mu+\nu-n/2}},\quad{\rm Re}\,\mu>0,{\rm Re\m}\nu>0
n - размерность векторного пространства, в котором проходит интегрирование, например R^3

Те, кто знакомы с расчетом феймановских интегралов сразу увидят феймановскую параметризацию: $\frac{1}{\prod\limits_{i=1}^{N}A_i^{\alpha_i}}=\frac{\Gamma\left(\sum\limits_{i=1}^{N}\alpha_i\right)}{\prod\limits_{i=1}^{N}\Gamma(\alpha_i)}\left\{\prod\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{0}^{1}t_i^{\alpha_i-1}dt_i\right\}\frac{\delta\left(1-\sum\limits_{i=1}^{N}t_i\right)}{\left(\sum\limits_{i=1}^{N}A_it_i\right)^{\sum\limits_{i=1}^{N}\alpha_i}}$
или при вещественных положительных $A_i$ и комплексных $\alpha_i$ с $\Re(\alpha_i)>0$,
или при ненулевых комплексных $A_i$ и натуральных $\alpha_i$.
Второй вариант используется для расчета диаграмм в методе размерной регуляризации.

Отсюда сразу при $N=2$ получаем:
($p>0$, $q>0$, $\vec a\in\mathbb{R}^n$, $\vec b\in\mathbb{R}^n$, $\Re(\mu+\nu)>\frac{n}{2}$)
$J=J_n(p,q,\vec a,\vec b,\mu,\nu)=\int\limits_{\mathbb{R}^n}\frac{d^{n}x}{(p^2+(\vec x-\vec a)^2)^\mu(q^2+(\vec x-\vec b)^2)^\nu}=$
$=\frac{\Gamma(\mu+\nu)}{\Gamma(\mu)\Gamma(\nu)}\int\limits_{\mathbb{R}^n}d^{n}x\int\limits_{0}^{1}\frac{t^{\mu-1}(1-t)^{\nu-1}dt}{\left((p^2+(\vec x-\vec a)^2)t+(q^2+(\vec x-\vec b)^2)(1-t)\right)^{\mu+\nu}}=$
$=\frac{\Gamma(\mu+\nu)}{\Gamma(\mu)\Gamma(\nu)}\int\limits_{0}^{1}t^{\mu-1}(1-t)^{\nu-1}dt\int\limits_{\mathbb{R}^n}\frac{d^{n}x}{\left(p^2t+q^2(1-t)+(\vec a^2+\vec b^2-2(\vec a\cdot\vec b))t(1-t)+\left(\vec x-\vec at-\vec b(1-t)\right)^2\right)^{\mu+\nu}}=$

сдвиг $\vec y=\vec x-\vec at-\vec b(1-t)$ и интеграл
($c>0$, $\Re(\lambda)>\frac{n}{2}$)
$I=I_n(c,\lambda)=\int\limits_{\mathbb{R}^n}\frac{d^{n}y}{(c+\vec y^2)^{\lambda}}=\sigma_{n-1}\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{r^{n-1}dr}{(c+r^2)^{\lambda}}=$
замена $s=\frac{r^2}{c}$, $r=\sqrt{cs}$
$=\frac{2\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2})}\frac{c^{\frac{n}{2}-\lambda}}{2}\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{s^{\frac{n}{2}-1}ds}{(1+s)^{\lambda}}=$
замена $t=\frac{1}{1+r}$, $r=\frac{1}{t}-1=\frac{1-t}{t}$
$=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}c^{\frac{n}{2}-\lambda}}{\Gamma(\frac{n}{2})}\int\limits_{0}^{1}t^{\lambda-\frac{n}{2}-1}(1-t)^{\frac{n}{2}-1}=$
$=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}c^{\frac{n}{2}-\lambda}}{\Gamma(\frac{n}{2})}\cdot\frac{\Gamma(\lambda-\frac{n}{2})\Gamma(\frac{n}{2})}{\Gamma(\lambda)}=\pi^{\frac{n}{2}}c^{\frac{n}{2}-\lambda}\frac{\Gamma(\lambda-\frac{n}{2})}{\Gamma(\lambda)}$
дает при $c=p^2t+q^2(1-t)+(\vec a-\vec b)^2t(1-t)>0$ и $\lambda=\mu+\nu$

$J=\frac{\Gamma(\mu+\nu)}{\Gamma(\mu)\Gamma(\nu)}\frac{\pi^{\frac{n}{2}}\Gamma(\mu+\nu-\frac{n}{2})}{\Gamma(\mu+\nu)}\int\limits_{0}^{1}\frac{t^{\mu-1}(1-t)^{\nu-1}dt}{\left(p^2t+q^2(1-t)+(\vec a-\vec b)^2t(1-t)\right)^{\mu+\nu-\frac{n}{2}}}=$
$=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}\Gamma(\mu+\nu-\frac{n}{2})}{\Gamma(\mu)\Gamma(\nu)}\int\limits_{0}^{1}\frac{t^{\mu-1}(1-t)^{\nu-1}dt}{\left(p^2t+q^2(1-t)+(\vec a-\vec b)^2t(1-t)\right)^{\mu+\nu-\frac{n}{2}}}$
что и требовалось доказать.

Замечание: параметризационная формула для натуральных $\alpha_i$ доказывается из ее простой версии (для $\alpha_i=1$):
$\frac{1}{\prod\limits_{i=1}^{N}A_i}=\Gamma(N)\left\{\prod\limits_{i=1}^{N}\int\limits_{0}^{1}dt_i\right\}\frac{\delta\left(1-\sum\limits_{i=1}^{N}t_i\right)}{\left(\sum\limits_{i=1}^{N}A_it_i\right)^N}$
- либо путем дифференцирования по $A_i$, что дает
$\frac{\Gamma(n_i)}{A_i^{n_i}}=\frac{\Gamma(n_i)}{A_i^{1+(n_i-1)}}=\frac{d^{n_i-1}}{dA_i^{n_i-1}}\left(\frac{1}{A_i}\right)\to$
$\to\Gamma(K)\frac{d^{n_i-1}}{dA_i^{n_i-1}}\left(\frac{1}{\left(\sum\limits_{i=1}^{N}A_it_i\right)^K}\right)=\Gamma(K+n_i-1)\frac{t_i^{n_i-1}}{\left(\sum\limits_{i=1}^{N}A_it_i\right)^{K+n_i-1}}$,
либо группировкой и интегрированием переменных $t_i$ при одинаковых $A_i$ по принципу $t'_j=\sum\limits_{k=1}^{N_j}t_{i^{(j)}_k}$ и
$\prod\limits_{k=1}^{N_j}\int\limits_{0}^{1}dt_{i^{(j)}_k}f\left(\sum\limits_{k=1}^{N_j}t_{i^{(j)}_k}\right)=\int\limits_{0}^{1}dt'_j\prod\limits_{k=1}^{N_j}\int\limits_{0}^{1}dt_{i^{(j)}_k}\delta\left(t'_j-\sum\limits_{k=1}^{N_j}t_{i^{(j)}_k}\right)f\left(\sum\limits_{k=1}^{N_j}t_{i^{(j)}_k}\right)=$
$=\frac{1}{\Gamma(N_j)}\int\limits_{0}^{1}dt'_j\cdot t'_j^{N_j-1}f(t'_j)$, что приводит к
$\frac{1}{\prod\limits_{j=1}^{M}A_{i^{(j)}_1}^{N_j}}=\frac{\Gamma\left(\sum\limits_{j=1}^{M}N_j\right)}{\prod\limits_{j=1}^{M}\Gamma(N_j)}\left\{\prod\limits_{j=1}^{M}\int\limits_{0}^{1}t'_j^{N_j-1}dt'_j\right\}\frac{\delta\left(1-\sum\limits_{j=1}^{M}t'_j\right)}{\left(\sum\limits_{j=1}^{M}A_{i^{(j)}_1}t'_j\right)^{\sum\limits_{j=1}^{M}N_j}}$
Сама же простая версия доказывается либо по индукции, либо общим методом. Доказательства приведу позже (они есть в учебниках).

Теперь главное: Доказательство для нецелых $\alpha_i$ НЕИЗВЕСТНО!!!
хотя эта формулировка безответственно встречается в учебниках (будьте бдительны!)
Мое мнение: для нецелых $\alpha_i$ это параметрическое тождество попросту НЕВЕРНО!

[t_dream]

Gafield писал(а):

Ошибка. В подстановке будет не $0$, а $2$. Что и неудивительно, поскольку синус на $(0,\pi)$ положителен. Да и без подсчетов это ясно, см. мой пост выше.

ЗЫ Еще $r$ в знаменателе поткрялось.

спасибо действительно не права

Добавлено спустя 2 минуты 56 секунд:

ddn писал(а):

Сама же простая версия доказывается либо по индукции, либо общим методом. Доказательства приведу позже (они есть в учебниках).

Теперь главное: Доказательство для нецелых $\alpha_i$ НЕИЗВЕСТНО!!!
хотя эта формулировка безответственно встречается в учебниках (будьте бдительны!)
Мое мнение: для нецелых $\alpha_i$ это параметрическое тождество попросту НЕВЕРНО!

Большое спасибо, честно говоря почему-то во время обучения на мехмате феймановские интегралы прошли мимо (вернее их не было насколько мне память не изменяет)

Очень бы хотелось, чтобы Вы посоветовали учебники где это можно посмотреть

Добавлено спустя 10 минут 4 секунды:

ddn
т.е. для $\nu=\mu=1/2$ или $\nu=\mu=3/2$ фактически доказательства не существует на сегодняшний день?

[ddn]

t_dream писал(а):

ddn писал(а):

Сама же простая версия доказывается либо по индукции, либо общим методом. Доказательства приведу позже (они есть в учебниках).

Теперь главное: Доказательство для нецелых $\alpha_i$ НЕИЗВЕСТНО!!!
хотя эта формулировка безответственно встречается в учебниках (будьте бдительны!)
Мое мнение: для нецелых $\alpha_i$ это параметрическое тождество попросту НЕВЕРНО!

Большое спасибо, честно говоря почему-то во время обучения на мехмате феймановские интегралы прошли мимо (вернее их не было насколько мне память не изменяет)

Очень бы хотелось, чтобы Вы посоветовали учебники где это можно посмотреть

Так тож мехмат, а не физмат. Эти интегралы и учебники/монографии узкоспециализированные, для теоретиков, работающих в квантовой теории поля и физике элементарных частиц.
Смотреть Вам их (учебники) нет смысла, их много всяких, а указанные формулы приводятся в приложениях, и далеко не всегда выводятся. Поскольку доказательство простое (для натуральных степеней), то лучше привести его здесь.

t_dream писал(а):

т.е. для $\nu=\mu=1/2$ или $\nu=\mu=3/2$ фактически доказательства не существует на сегодняшний день?

У меня нет. Нигде не видел доказательства общего случая (не ваших конкретных значений $\nu$ и $\mu$). И сильно сомневаюсь в истинности, хотя это утверждение приводиться в некоторых солидных книжках.

[t_dream]

ddn
наоборот очень даже интересно в каких учебниках, так как этот интеграл возник в физической задаче некоторым образом, связанной с физикой элементарных частиц

[ddn]

t_dream писал(а):

ddn
наоборот очень даже интересно в каких учебниках, так как этот интеграл возник в физической задаче некоторым образом, связанной с физикой элементарных частиц

Навскидку трудно сообразить. Если по диаграммам и КТП, то Боголюбова+Ширкова, Швебера, Ландау+Лифшица+Берестецкого, например.
А там где про указанную формулу, смотрите где есть "размерная регуляризация". В теме перенормировок.

Поспрашивайте лучше в разделе "Физика". Там подскажут.

Еще поищите в библиотеке http://www.poiskknig.ru

[t_dream]

ddn
Большое спасибо за информацию

[Gafield]

В доказательстве использовалась формула

$$ A_1^{-\mu}A_2^{-\nu}=\frac{\Gamma(\mu+\nu)}{\Gamma(\mu)\Gamma(\nu)}\int_0^1\frac{t^\mu(1-t)^\nu\, dt}{(A_1t+(1-t)A_2)^{\mu+\nu}}. $$

Что, для нецелых $\mu,\nu$ она неизвестна?

[GAA]

Формула

$$ A_1^{-\mu}A_2^{-\nu}=\frac{\Gamma(\mu+\nu)}{\Gamma(\mu)\Gamma(\nu)}\int_0^1\frac{t^{\mu-1}(1-t)^{\nu-1}\, dt}{(A_1t+(1-t)A_2)^{\mu+\nu}} $$

известна и для нецелых $\mu$, $\nu$. Cм. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 2, 1964; гл XIV. Интегралы зависящие от параметра, n.534.

[Gafield]

Вот и мне казалось странным. Тем более, если она используется в расчетах.

[Brukvalub]

t_dream в сообщении #187052 писал(а):

Большое спасибо, честно говоря почему-то во время обучения на мехмате феймановские интегралы прошли мимо (вернее их не было насколько мне память не изменяет)

Очень бы хотелось, чтобы Вы посоветовали учебники где это можно посмотреть

Вот один из лучших учебников по континуальному интегралу:
http://lib.mexmat.ru/books/5132

[t_dream]

GAA а можете Вы указать на какой странице, а то я внимательно просмотрела раздел 534 и не могу найти эту формулу