Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике
http://e-science.ru/forum/index.php?s=& ... st&p=63566
+++
«В программе геометродинамики физические явления строятся из свойств пространства-времени (развивается Дж. Уилером и его последователями с 50-х годов ХХ века). Она гласит: «в мире нет ничего, кроме пустого искривленного пространства. Материя, заряд, электромагнитные и другие физические тела являются лишь проявлением искривленности пространства. Физика есть геометрия. Все физические понятия должны быть представлены с помощью пустого, различным образом искривленного пространства, без каких-либо добавлений к нему». Классическая геометродинамика включает в себя построение из геометрии пространства-времени эквивалентов массы, заряда, электромагнитного поля. В этой теории частица выступает как чисто геометрическое понятие. Масса, время, длина, электромагнитные поля … являются объектами чистой геометрии. Физика оперирует только длинами и ничем другим. Эта программа была продолжена в квантовой области.»
Я согласен с этим. За исключением «смешивания» пространства и времени. Нужно рассматривать не пространство-время. А на уровне мат модели искривлённое пространство и «глобальное время» время, которое течёт во всех точках этого пространства синхронно. (без какой либо разницы во времени в разных точках пространства)
Рекомендую для прочтения следующую литературу. (Так же уделите внимание на библиографию к этому изданию)
Борисов А.В. Мамаев И.С. «Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике» (1999 г.)
О двух вихрях.
«Глава 4 (стр. 254 ) Гамильтонова динамика вихревых структур.
Рассматривается движение в идеальной жидкости. Рассматривается движение трёх вихрей на двухмерной сфере и в евклидовой плоскости.. По теореме Луивилля .. система трёх вихрей интегрируема…
Задача о движении двух вихрей на плоскости была полностью изучена Г. Гельмгольцем, который установил, что в общем случае два вихря совершают равномерное вращательное движение вокруг центра завихрённости.. Динамика двух вихрей на сфере вполне аналогична плоскому случаю.»
О трёх вихрях.
«В современный период задача движения трёх вихрей на плоскости изучалась … с точки зрения топологического анализа. К сожалению, эти работы мало что добавили к достижениям классиков как в наглядности, так и в полноте описания движения. Их основное содержание сводится либо к громоздкой геометрической интерпретации движения и компьютерному моделированию отдельных траеткорий, либо к некоторым общим топологическим конструкциям, не увязанным с физическим поведением системы.»
Вопрос
- Что имеет ввиду, автор под некоторыми топологическими конструкциями?
«Отчасти, это связанно с тем, что задача трёх вихрей на плоскости не принадлежит к тем интегрируемым системам, полный анализ которых, возможен в классе достаточно простых (например, эллиптических) специальных функций (из за логарифмических слагаемых в гамильтониане, общее решение имеет бесконечно-лиственное ветвление на комплексной плоскости времени). Исключение составляют некоторые частные случаи, например, случай равных интенсивности вихрей, достаточно подробно исследованные. По сравнению с задачей трёх вихрей на плоскости, движение трёх вихрей на сфере, так же являющееся интегрируемым, практически не изучено. Задача трёх вихрей так же является интегрируемой и на плоскости Лобачевского. Но на ней мы не останавливаемся вследствие отсутствия реальной физической интерпретации…»
Вопросы
- Как вы считаете задача трёх вихрей в трёхмерном евклиде либо поверхности трёхмерной сферы будет интегрируема?
«Траекторный изоморфизм является, вообще говоря, кусочным, Из этой аналогии в частности, следует, что системы трёх вихрей на плоскости и сфере траекторно кусочно-изоморфны?»
Вопросы:
-В чем геометрический смысл центральных функций?
-В чём суть вырожденности скобки Пуассона?
«Таким образом, относительная динамика вихрей эквивалентна движению некоторой «изображающей точки» на симплектическом листе, который является либо двумерной сферой, либо одной из полостей двухполостного гиперболоида…»
Вопросы:
-Чем является некоторая «изображающая точка» в контексте афинного простраства? (ну или скажем иначе - скалярного поля)
-Как вы считаете почему симплектический лист является именно сферой либо полостью гиперболоида?
«Три вихря в вершинах правильного треугольника, вращающегося как твёрдое тело вокруг центра завихрённости, называются «томпсоновскими» и являются устойчивыми при выполнении условия ….»
Вопросы:
-Приведите формулировку термина – твёрдое тело?
-Как вы думаете, какая система вихрей могла бы быть устойчивой в 3-х мерном евклиде либо на 3-х мерной сфере?
12.02.2009, 12:13 
