Четырехугольник в пространстве

[Yu_K]

Стороны четырехугольника касаются сферы. Доказать, что точки касания лежат в одной плоскости.

[TOTAL]

Повернем 1-ю сторону 4-угольника на некоторый угол вокруг точки касания. Сцеплённая с ней 2-я сторона повернётся на точно такой же угол и т.д. Таким образом, не меняя точек касания, вращением делаем две противоположные стороны параллельными, а для этого случая утверждение очевидно.

Исправляю, правильно сказать: вращением делаем две противоположные стороны лежащими в одной плоскости.

[Yu_K]

Не совсем понятно. Четырехугольник априорно жесткий и тогда по-вашему он априорно был с паралллельными стронами - зачем тогда его крутить?

[TOTAL]

Yu_K писал(а):

Не совсем понятно.

Зафиксируйте точки касаний двух последовательных сторон. Вращайте обе стороны так, чтобы они продолжали иметь общую точку. Естественно, расстояния (равные) от общей точки сторон до точек касания будут меняться при вращении. Длины сторон также будут меняться.

[Yu_K]

MNPQ - четырехугольник, A,B,C,D - лежат в одной плоскости. Картинка к задаче.

[TOTAL]

Ну вот и поверните прямую $NM$ по часовой стрелке на угол $\omega,$ сохраняя касание в точке $C.$ Прямую $QP$ поверните на угол $\omega$ тоже по часовой стрелке, а прямые $MP$ и $QN$ поверните на угол $\omega$ против часовой стрелки. В новом положении эти четыре прямые снова образуют четырёхугольник.

[Yu_K]

Каждая из прямых вращается в своей плоскости, с нормальным вектором совпадающим с нормальном вектором сферы в точке касания. Смущает немного то, что при повороте $MN$ и $MP$ точка пересечения этих двух прямых не пропадает. Каждые две соседние плоскости вращения прямых пересекаются по прямой. Получается, что всегда можно трансформировать $MNQP$ в плоский четырехугольник.

Вот http://www.tanyakhovanova.com/coffins.html ссылка на эту задачу у maxal.

[TOTAL]

Yu_K писал(а):

Смущает немного то, что при повороте $MN$ и $MP$ точка пересечения этих двух прямых не пропадает.

Чтобы избавиться от смущения, прочитайте про признак равенства треугольников по трём сторонам.

[Батороев]

Рассмотрим в штрихах.
Отметим, что:
$QA=QB$; $MC=MD$; $NB=NC$; $PA=PD$.
Теперь, если представить, что $QNMP$ - тетраэдр, то все плоскости, проходящие внутри тетраэдра через прямую $BC$ будут пересекать ребра $PM$ и $PQ$ в точках, равноудаленных от вершины $P$, в том числе и по $A$, $D$ (только, как это доказывается, не знаю - стереометрию подзабыл ).

[ewert]

TOTAL в сообщении #185764 писал(а):

Таким образом, не меняя точек касания, вращением делаем две противоположные стороны параллельными,

Не следует ли отсюда утверждение: "любой четырёхугольник, описанный вокруг окружности -- это трапеция"?

[TOTAL]

Не следует, т.к. не получится вращать, не меняя точки касания.

Добавлено спустя 1 час 47 секунд:

Yu_K писал(а):

Вот http://www.tanyakhovanova.com/coffins.html ссылка на эту задачу у maxal.

По этой ссылке вот это решение Alternate Solution to Problem 31 submitted by Alexander Shukhat (http://www.tanyakhovanova.com/Coffins/sol31alt.html) ошибочно. (Рассмотрите случай, когда четырехугольник плоский. Тогда согласно этому решению все четыре точки $K,L,M,N$ на рисунке 2 совпадут.)

[ewert]

TOTAL в сообщении #186000 писал(а):

Не следует, т.к. не получится вращать, не меняя точки касания.

Почему же не получится? Возьмите любой плоский четырёхугольник, описанный вокруг окружности. Выведите его в пространство обратными операциями. Т.е. посадите на эту окружность какую-либо сферу (любого радиуса, не меньшего, чем радиус окружности), и проделайте свои замечательные повороты -- они действительно корректны.

Ну а потом примените своё доказательство к полученному пространственному четырёхугольнику. И окажется, что исходный четырёхугольник -- это непременно трапеция.

[TOTAL]

ewert писал(а):

Ну а потом примените своё доказательство к полученному пространственному четырёхугольнику. И окажется, что исходный четырёхугольник -- это непременно трапеция.

Я понял, наконец, откуда идет недовольство. Я уже исправил вверху. Две противоположные стороны вращением делаем не параллельными, а приводим их в одну плоскость. (Смотрим на эти стороны в направлении прямой, проходящий через их точки касания, и вращением добиваемся совпадения прямых, что означает приведение их в одну плоскость.)

[ewert]

Тогда годится. Я бы, правда, оформил несколько по-другому. Следим за тремя сторонами -- AB, BC и CD. И за плоскостью MNP, проходящей через точки касания этих трёх сторон. Поворотом добиваемся того, чтобы сторона BC оказалась в плоскости MNP. Тогда весь четырёхугольник автоматически окажется в этой плоскости.

[Brukvalub]

Эта задача - боян из боянов. См, например. ее здесь: http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/bib-mat-kr/shk-3.htm под № 22.