Косинусы при повороте и деформации векторов

[Rat]

У меня вопрос по этой книге Лойцянский Л.Г. — Механика жидкости и газа на с.47 описывается вывод компонент тензора скоростей деформаций. И я там не понимаю одного места чисто математического характера.
Сначала вводится система координат $Ox_1x_2x_3$ и в ней задаются векторы
$\delta r_1 ( \delta x_1,0,0)$,
$\delta r_2 ( 0,\delta x_2,0)$,
$\delta r_3 ( 0,0,\delta x_3)$,
Через время $dt$ эти векторы каким-то образом поворачиваются и деформируются и их обозначения становятся $\delta r_1', \delta r_2', \delta r_3'$.

Вопрос: (по формулам (24) в книге) - почему косинусы углов записываются таким образом

$$\cos( \widehat{\delta r_1', \delta r_2'})= \frac{ \delta r_1'}{\delta x_1'} \cdot \frac{ \delta r_2'}{\delta x_2'}$$

$$\cos( \widehat{\delta r_2', \delta r_3'})= \frac{ \delta r_2'}{\delta x_2'} \cdot \frac{ \delta r_3'}{\delta x_3'}$$

$$\cos( \widehat{\delta r_1', \delta r_3'})= \frac{ \delta r_1'}{\delta x_1'} \cdot \frac{ \delta r_3'}{\delta x_3'}$$

Я этого, признаться, совсем не понимаю - откуда эти формулы берутся?

[мат-ламер]

Нет у меня Вашей книги, но может Вам поможет тот факт, что косинус угла между единичными векторами равен их скалярному произведению. Также учтите ортогональность векторов базиса.

[Zai]

Rat писал(а):

$$\cos( \widehat{\delta r_1', \delta r_2'})= \frac{ \delta r_1'}{\delta x_1'} \cdot \frac{ \delta r_2'}{\delta x_2'}$$

Точка в формуле означает скалярное произведение. \delta r_1', \delta r_2' - вектора.
В издании книги 1950 года это математическое выражение расписано подробно на стр. 61-62.

[Rat]

Zai писал(а):

Точка в формуле означает скалярное произведение. \delta r_1', \delta r_2' - вектора.

А зачем делить на $\delta x_1$ и $\delta x_2$?

[bubu gaga]

Если у Вас есть вектор

$$\vec a = (x, 0, 0)$$

то вектор

$$\frac{\vec a}{x}$$

будет единичным вектором в том же направлении, что и вектор

$$\vec a$$

[antbez]

Rat писал(а):

Zai писал(а):

Точка в формуле означает скалярное произведение. \delta r_1', \delta r_2' - вектора.

А зачем делить на $\delta x_1$ и $\delta x_2$?

Да, если б в книге в знаменателе стояли в явном виде модули векторов, было бы понятней!