Изоморфизм между интервалами рациональных чисел

[Апофеоз Здравого Смысла]

В книге Начала Теории Множеств (Верещагин, Шень) рассматривается изоморфизм между множествами рациональных чисел интервалов $(0;1)$ и $(0;\sqrt{2})$ т.е. между $Q \cap (0;1)$ и $Q \cap (0;\sqrt{2})$

Изоморфизм предлагается строить следующим образом:

Цитата:

Для этого надо взять возрастающие последовательности рациональных чисел $0<x_1<x_2< ...$ и $0<y_1<y_2<...$, сходящиеся соответственно к $1$ и $\sqrt{2}$ и построить кусочно линейную функцию $f$, которая переводит $x_i$ в $y_i$ и линейна на каждом из отрезков $[x_i,x_{i+1}]$. Легко понять что она будет исходным изоморфизмом.

Мне это совсем не понятно. Какие именно последовательности нужно взять? Это будет одна такая последовательность, или их будет бесконечно много? Чему равны $x_1$ и $y_1$?

[ewert]

Любые две строго монотонно возрастающие последовательности. Только они ноль зачем-то потеряли. Построенная функция будет строго монотонна (а значит, давать биекцию), и на каждом отрезке (в силу линейности с рациональными коэффициентами) -- переводить любое рациональное число в рациональное, причём в обе стороны.

Да, и я не знаю, в каком смысле "изоморфизм". Скорее всего, в смысле эквивалентности метрик, т.е. просто непрерывности. Ну так кусочно-линейная функция заведомо непрерывна.

[Xaositect]

Нужно взять две произвольные последовательности рациональных чисел. Тогда если

$$x\in(0,1)$$

рационально, то рационально и

$$f(x)$$

, и обратно, потому что

$$x$$

делит отрезок

$$[x_i, x_{i+1}]$$

, на котором он лежит, в рациональном отношении.

Добавлено спустя 46 секунд:

ewert в сообщении #185311 писал(а):

Да, и я не знаю, в каком смысле "изоморфизм". Скорее всего, в смысле эквивалентности метрик, т.е. просто непрерывности. Ну так кусочно-линейная функция заведомо непрерывна.

Думаю, в смысле сохранения порядка.

[Апофеоз Здравого Смысла]

Изоморфизм там дается как взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок.
Понятно, т.е. первым элементом обоих последовательностей будет 0, чтобы можно было отображать все числа $>0$, а потом этот ноль надо отбросить, так как он не входит в заданные интервалы. И это отображение будет переводить рациональные числа в рациональные.

Спасибо, теперь понял