Периодическая последовательность

[Edward_Tur]

Доказать, что последовательность $x_{n + 2} = \left| {x_{n + 1} } \right| - x_n $ периодическая
Источник - СПб МО-2009

[maxal]

И даже если $x_1=\pi$ и $x_2=e$ ?

[Edward_Tur]

Период - 9

[maxal]

Я подумал сначала, что речь идет о целочисленных последовательностях и надо просто доказать ее ограниченность. А оказалось, что тут можно явно перебрать все возможные значения элементов последовательности:

Если первые два элемента $x_0=x$ и $x_1=y$ положительны, то вся последовательность однозначно определяется в зависимости от того, в как соотносятся величины $\frac{y}{x}$ и $\frac{1}{2}$, $1$ и $2$.
Вот все варианты ветвлений:

Остальные случаи знаков начальных значений рассматриваются аналогично.