Да стандартно свел... в общем и рассказывать не о чем...
Параметризовал поверхность:
![\[
\begin{gathered}
x = \sqrt 2 \cos \theta \hfill \\
y = 2\sqrt 2 \sin \theta \cos \varphi \hfill \\
z = 2\sqrt 2 \sin \theta \sin \varphi \hfill \\
\end{gathered}
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/4/b14bd110426d90d659966a248b4cc84a82.png "\[
\begin{gathered}
x = \sqrt 2 \cos \theta \hfill \\
y = 2\sqrt 2 \sin \theta \cos \varphi \hfill \\
z = 2\sqrt 2 \sin \theta \sin \varphi \hfill \\
\end{gathered}
\]")
После чего нашел, что точкам
и
![$(1,1,\[\sqrt 3 \])$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/5/865c17c27a58a87741a6c1c4cdbb1b0482.png "$(1,1,\[\sqrt 3 \])$")
в координатах
соответствуют
![$\[\left( {\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{4}} \right)\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/2/6c2fcf54504f7c5dfcd27ce259df781d82.png "$\[\left( {\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{4}} \right)\]$")
и
Вычислил метрику:
![$\[ds^2 = 2(1 + 3\cos ^2 \theta )d\theta ^2 + 8\sin ^2 \theta d\varphi ^2 \]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/1/df17a0cea05be5e6edbdf32980e5ccc382.png "$\[ds^2 = 2(1 + 3\cos ^2 \theta )d\theta ^2 + 8\sin ^2 \theta d\varphi ^2 \]$")
Коэффициенты связности:
![$\[\Gamma _{\theta \theta }^\theta = - \frac{{3\sin \theta \cos \theta }}{{1 + 3\cos ^2 \theta }}\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/a/e3a40aa5b6fa18a7d9be0c94f4056b1582.png "$\[\Gamma _{\theta \theta }^\theta = - \frac{{3\sin \theta \cos \theta }}{{1 + 3\cos ^2 \theta }}\]$")
![$\[\Gamma _{\theta \varphi }^\varphi = ctg\theta \]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/6/ed6fb781d9dbe2daaa7613ef7c6eddbd82.png "$\[\Gamma _{\theta \varphi }^\varphi = ctg\theta \]$")
![$\[\Gamma _{\varphi \varphi }^\theta = - \frac{{4\sin \theta \cos \theta }}{{1 + 3\cos ^2 \theta }}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/2/c625ed4fc81fcfd8afa10e552c817a6582.png "$\[\Gamma _{\varphi \varphi }^\theta = - \frac{{4\sin \theta \cos \theta }}{{1 + 3\cos ^2 \theta }}\]$")
Записал
-компоненту уравнения геодезической и условие натуральности параметра кривой:
![$\[\ddot \varphi + 2ctg\theta \cdot \dot \theta \dot \varphi = 0\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/0/eb094f21cc427cfac5a49ada1196c66f82.png "$\[\ddot \varphi + 2ctg\theta \cdot \dot \theta \dot \varphi = 0\]$")
![$\[2(1 + 3\cos ^2 \theta ) \cdot \dot \theta ^2 + 8\sin ^2 \theta \cdot \dot \varphi ^2 = 1\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/4/76431e2565a43ba4cd1ca854057c828882.png "$\[2(1 + 3\cos ^2 \theta ) \cdot \dot \theta ^2 + 8\sin ^2 \theta \cdot \dot \varphi ^2 = 1\]$")
(
-компоненту не писал, так она является следствием этих двух уравнений и ничего нового не дает)
Первое уравнение дало мне
![$\[\dot \varphi = \frac{K}{{2\sqrt 2 \sin ^2 \theta }}\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/7/e07fcfde99f36727c020fed3dfe20ecc82.png "$\[\dot \varphi = \frac{K}{{2\sqrt 2 \sin ^2 \theta }}\]$")
.
Откуда немедленно получается
![$\[d\varphi = - \frac{K}{{2(1 - \cos ^2 \theta )}}\sqrt {\frac{{1 + 3\cos ^2 \theta }}{{1 - K^2 - \cos ^2 \theta }}} d(\cos \theta )\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/1/d01858b8a1ea71231a138a37a7fff03782.png "$\[d\varphi = - \frac{K}{{2(1 - \cos ^2 \theta )}}\sqrt {\frac{{1 + 3\cos ^2 \theta }}{{1 - K^2 - \cos ^2 \theta }}} d(\cos \theta )\]$")
а так как при этом
![$\[ds = - \sqrt 2 \cdot \sqrt {\frac{{1 + 3\cos ^2 \theta }}{{1 - K^2 - \cos ^2 \theta }}} d(\cos \theta )\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/9/e09fcbe527adbc111afab225e91353d282.png "$\[ds = - \sqrt 2 \cdot \sqrt {\frac{{1 + 3\cos ^2 \theta }}{{1 - K^2 - \cos ^2 \theta }}} d(\cos \theta )\]$")
то после переобозначения
![$\[t \equiv \cos \theta \]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/d/19d0f1544327ac78e61289db214880b482.png "$\[t \equiv \cos \theta \]$")
и получаются приведенные выше результаты.
08.02.2009, 19:44 
