Преобраз. дифф. уравнения n порядка в систему n дифф. ур-ий

[Mathdream]

Спасибо, разобрался.

LynxGAV писал(а):

Вам что надо самому реализовать численное решение? В мат. пакетах это делается очень быстро и просто.

Да нет , я просто теорию осваиваю. Как я тут недавно научился - надо знать, как машине подать данные, чтобы получить "хороший" результат. Так что надо представлять алгоритмы, которые используются этими математическими пакетами

[LynxGAV]

ewert писал(а):

Эта система (будучи линейной) стандартно решается записью в матричной форме и выписыванием матричной экспоненты. Но, если нужно именно аналитическое решение (а не какое-нибудь приближённое), то это довольно глупо: исходное уравнение высшего порядка -- объект для исследования более простой, поскольку матрица получается очень специфического вида.

Хм, точное решение с помощью матричной экспоненты, когда задано начальное условие. Какие общие методы нахождения матричных экспонент? Мне представляется простым случай, когда матрица представима в виде суммы простых коммутирующих матриц (типа единичной, нильпотентных). Напомните, какой общий метод? По идее, если решение искать через сумму лин. нез. и находить константы из начальных условий, то так проще.

[ewert]

LynxGAV в сообщении #185388 писал(а):

Какие общие методы нахождения матричных экспонент? <...> По идее, если решение искать через сумму лин. нез.

1). Автор спрашивал про решение именно системы. Формальный ответ: для произвольной системы -- именно через матричную экспоненту, и никак иначе (если говорить по существу).

2). Матричная экспонента выписывается явно после приведения матрицы к жордановой форме (т.к. экспонента от одной жордановой клетке довольно проста). Поиск независимых решений -- сводится фактически к поиску собственных и присоединённых векторов матрицы, что, в сущности, и означает приведение к жордановой форме.

3). Это если матрица общего вида. Если же система порождена одним дифуром высшего порядка, то, действительно, непосредственно для него независимые решения выписываются явно. Но я ведь так и сказал -- что для аналитического решения сводить задачу к системе глупо.

[LynxGAV]

ewert

Я совершенно не аппелировала к Вашему объяснению, а хотела заполнить пробелы в памяти. Пока читала по пунктам, воспоминания о матричных экспонентах начали восстанавливаться. Конечно, если у матрицы будут собственные значения действительные и различные или комплексно-сопряженные и различные и матрица диагонализируема, то все просто, даже с действительными и повторяющимися и недиагонализируемой матрицей будет просто посчитать матричную экспоненту. C лин. нез. комб. ответы будут такие же, и мне такой метод был больше по душе.

Почему-то спрашивая об матричных экспонентах, я думала о функциях от матриц вообще и помню, что нам давали два метода их вычисления. 1. С помощью теорем Cayley-Hamilton, Silvester. 2. ?

Но к вопросу автора топика это не относится, потому почти как флуд.