Аксиомы евклидовой геометрии и аксиомы арифметики

[ellipse]

Использует ли геометрия евклида аксиомы арифметики, например, в аксиомах непрерывности?

IV. Аксиомы непрерывности.
1) Аксиома Архимеда: всякий отрезок можно перекрыть любым отрезком, откладывая его на первом достаточное число раз (откладывание отрезка осуществляется движением).
2) Аксиома Кантора: если дана последовательность отрезков, вложенных один в другой, то все они имеют хотя бы одну общую точку.

Можно ли вывести аксиомы целых чисел, вещественных чисел из аксиом евклидовой геометрии?

Вообще, а как доказывается эквивалентность утверждений о непротиворечивости евкл.геометрии и непротиворечивости арифметики?

спасибо

[AD]

Если я где-то не прав, надеюсь, меня поправят.

Да, в аксиоматике евклидовой геометрии, составленной Гильбертом, скажем, неизбежно присутствуют аксиомы, напоминающие аксиомы действительных чисел. И именно потому, что евклидова прямая с отрезочками на ней должна-таки напоминать числовую. Когда в евклидовой геометрии появляются векторы (а они там появляются по глубоко внутренним причинам), то одномерные векторы как раз и становятся естественной моделью множества действительных чисел.

Евклид тоже старался, видимо, числовые аксиомы в геометрию включить (ну там что часть меньше целого, итп), но не вполне еще понимал, что делал.

Напротив, когда начинается разговор о действительных числах, то возникает естественное желание собрать из них пространство $\mathbb{R}^n$, ввести на нем скалярное произведение, а затем длины и углы, и получится модель евклидовой геометрии.

ellipse в сообщении #183546 писал(а):

Можно ли вывести аксиомы целых чисел, вещественных чисел из аксиом евклидовой геометрии?

"Вывести аксиомы", конечно, нельзя. На то они и аксиомы. Но можно строить модели одной аксиоматики в другой аксиоматике. И по вышеприведенным соображениям это можно сделать в обе стороны, а из этого как раз и следует сразу, что эти аксиоматики противоречивы или непротиворечивы одновременно.

Где-то я видел хорошую книжку про аксиомы евклидовой геометрии, поищу еще сейчас и запостю. Ну там вся геометрия ооочень аккуратно выводится из аксиом.

upd: вот она на английском: http://uk.arxiv.org/abs/math/0702029

[ellipse]

Нашел книгу на русском - Шарипов Р. А. Основания геометрии для студентов и школьников
http://www.uic.bashedu.ru/perspage/sharipov/r4-b6.htm

Цитата:

ГЛАВА V. АКСИОМЫ НЕПРЕРЫВНОСТИ. ................... 140.
§ 1. Сравнение отрезков. .......................................................... 140.
§ 2. Сравнение углов. ................................................................ 143.
§ 3. Аксиоматика вещественных числа. ................................ 147.

§ 4. Двоично-рациональные аппроксимации
вещественных чисел. ......................................................... 152.
§ 5. Аксиома Архимеда и аксиома Кантора
в геометрии. ........................................................................ 156.
§ 6. Числовая прямая. ................................................................ 159.
§ 7. Измерение отрезков. .......................................................... 164.
§ 8. Отображения подобия для прямых. Умножение
векторов на число. ............................................................. 170.
§ 9. Измерение углов. ................................................................ 173.

Судя по оглавлению что-то интересное, но увы там только оглавление. Может у кого-нибудь есть сама книга?

Добавлено спустя 53 минуты 7 секунд:

нашел.
http://www.dubinushka.ru/forums/index.p ... topic=8634
пойду читать

[ewert]

кстати, я вот, например, исторически довольно безграмотен. Может, кто-нибудь в курсе, была у самого Евклида аксиома Кантора, или это её уже потом Гильберт добавил?

Т.е. понятно, что в буквальном смысле её быть не могло -- тогда вещественных чисел ещё не было. Но, с другой стороны, иррациональные уже, возможно, были (ну хоть корни). Так может, и какой-нибудь аналог той аксиомы был?

[BVR]

У Евклида не бвло даже аксиомы Архимеда. А её потом Архимед добавил.
однако в Началах по сути изложена теория действительного числа и там он чуть-чуть не дошёл до дедекиндова сечения. Считается, что это результаты Евдокса и Теэтета, живших в 5 и 4 веках до нашей эры.

Очень подробно изложено аксиоматическое построение евклидовой геометрии в известной книге Ефимова Н. В. Высшая геометрия.
Вопросы аксиоматического построения геометрии Евклида (и Лобачевского) рассматриваются в пединститутском курсе Оснований геометрии. Учебник: Атанасян Л. С., Базылев В. Т., Геометрия, т.2. Там же кратко, но боль-мень аккуратно рассматриваются вопросы непротиворечивости теории и эквивалентности аксиоматик.