Предел функции двух переменных

[snowy]

Нужно доказать, что не сущестыует предела функции \lim_{(x,y) \mapsto (0,0)} \frac{x-y}{x^2+y^2}

Достаточно ли написать, что если искать предел вдоль оси x тогда повторный препредел будет равен бесконечности \lim_{(x,0) \mapsto (0,0)} \frac{x}{x^2}=\infty и тогда двойной не существует?

И ещё можно ли решить так:
\lim_{(x,0) \mapsto (0,0)} \frac{x}{x^2}=\infty и \lim_{(0,y) \mapsto (0,0)} \frac{-y}{y^2}=-\infty
и тогда двойной не существует? Или одного условия достаточно?

Заранее большое спасибо!

[ewert]

Смотря что считать несуществованием предела. Если именно конечного предела, то первого, естественно, достаточно. А если надо доказать несуществования и бесконечного, то надо, да, минимум два направления. Вот как у Вас, например, а ещё надёжнее проследить за линией $y=x$.

[snowy]

Спасибо за быстрый ответ! Написано найти предел если существует. Наверное лучше тогда решить вторым способом. А почему вдоль прямой x=y надежнее?

[ewert]

потому, что можно предположить и такой вариант, когда существование $\lim |f(x,y)|=+\infty$ тоже считается допустимым. Ваши выкладки этого не опровергают (и, кстати, они неверно записаны: там в одном случае предел равен $\pm\infty$, в другом $\mp\infty$).

Конечно, такая ситуация в данном случае невозможна, но ведь это надо обосновывать, а оно нам надо? После сравнения же с прямой $y=x$ все вопросы отпадают.

[Someone]

Мой более чем тридцатилетний опыт преподавания математического анализа привёл меня к заключению, что целесообразно различать три символа бесконечности: проективную бесконечность $\infty$, которая соединяет оба конца числовой оси, и две аффинные бесконечности $+\infty$ и $-\infty$, которые находятся каждая на своём конце числовой оси (это, естественно, неформальное описание). Если выполняется одно из равенств

$$\lim\limits_{x\to a}f(x)=+\infty\text{ или }\lim\limits_{x\to a}f(x)=-\infty\text{,}$$

то мы можем написать также и

$$\lim\limits_{x\to a}f(x)=\infty\text{,}$$

но, имея только одно последнее равенство, написать какое-нибудь из двух первых нет оснований.

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac 1x=\infty,\quad\lim\limits_{x\to 0^+}\frac 1x=+\infty,\quad\lim\limits_{x\to 0^-}\frac 1x=-\infty.$$

При таком подходе

$$\lim\limits_{\substack{x\to 0\\y=0}}\frac{x-y}{x^2+y^2}=\lim\limits_{\substack{y\to 0\\x=0}}\frac{x-y}{x^2+y^2}=\infty\text{,}$$

и у нас нет оснований утверждать, что предел

$$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x-y}{x^2+y^2}$$

не существует.

[ewert]

ну-ну, как это нет оснований, речь же шла о пределе по совокупности переменных.

И из Вашей третьей снизу цепочки формул уже следует, что предела нет, т.к. по некоторой последовательности предел будет равен нулю. Только это, как я уже говорил -- никому не нужный высший пилотаж...

[Someone]

ewert в сообщении #183561 писал(а):

И из Вашей третьей снизу цепочки формул уже следует, что предела нет

Точно третья? Может быть, вторая?

ewert в сообщении #183561 писал(а):

предела нет, т.к. по некоторой последовательности предел будет равен нулю

Формально из неё не следует. Что вообще может следовать из того, что два частичных предела равны $\infty$? Может быть и искомый предел равен $\infty$. Вот когда Вы явно указали, что

$$\lim\limits_{\substack{x\to 0\\ y=x}}\frac{x-y}{x^2+y^2}=0\text{,}$$

то да, из сравнения этого частичного предела с предыдущим следует, что предел не существует.

[ewert]

Формально следует. Если по одному лучу предел равен плюс бесконечности, а по другому минус бесконечности, то на любой достаточно близкой к нулю дуге, соединяющей эти лучи, найдётся минимум одна точка, в которой функция обращается в ноль. Она ведь (функция) непрерывна везде, кроме начала координат...

[Someone]

ewert в сообщении #183571 писал(а):

Если по одному лучу предел равен плюс бесконечности, а по другому минус бесконечности,

У меня не было никаких лучей, были пределы по прямым.
Ваше решение предполагает некие условия непрерывности, которые формально из равенства частичного предела чему-либо не следуют. Это в такой задаче чрезмерное усложнение. Первый Ваш вариант (по одной прямой частичный предел равен $\infty$, по другой - $0$, поэтому предел не существует) мне нравится гораздо больше.

[ewert]

Someone в сообщении #183591 писал(а):

мне нравится гораздо больше.

а я с самого начала не скрывал, что и мне тоже.

Впрочем, это уж какой-то совершенно ненужный трёп пошёл.

(хотя не удержусь от парфянства: коли были прямые -- значит, были и лучи)

[snowy]

Спасибо большое за подробный ответ!

Можно еще вопрос?
Ваше обозначение предел по прямой
x=y:

\lim_{x \mapsto 0, y=x}f(x,y) это то же самое что и повторный предел:

\lim_{x \mapsto 0} \lim_{y=x}f(x,y)?

[ewert]

Нет, к повторному пределу это не имеет никакого отношения. Предел по прямой (вообще, по линии) -- это предел функции одной переменной,которая получается подстановкой в функцию двух переменных уравнения линии. Предел ваще существует тогда и только тогда, когда он существует и одинаков по всем таким линиям.

(Естественно, имеются в виду пределы по линиям, стягивающимся к центру. А что такое "линия" -- так мне и говорить неохота, за занудством.)

[snowy]

Что-то совсем запуталась!
А через повторный предел нелзя доказывать.
Скажем, если я напишу
\lim_{x \mapsto 0} \lim_{y \mapsto 0} \frac{x-y}{x^2+y^2}=\infty
\lim_{x \mapsto 0} \lim_{y \mapsto x} \frac{x-y}{x^2+y^2}=0
Следовательно не сущестыует предела функции, так нельзя?

[ewert]

Так -- можно. Только внутренние пределы следует откровенно заменить на их значения. В первом случае Вы приближаетесь к центру фактически по горизонтальной прямой, во втором -- по биссектрисе координатного угла.

По существу можно. Ну а уж насколько это будет считаться корректным, и не потребуют ли начальники каких-то дополнительных заклинаний -- не знаю, это от Вашего начальства зависит.

[ShMaxG]

В данном случае можно, потому что функция непрерывна относительно $y$?