2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Предел функции двух переменных
Сообщение04.02.2009, 18:16 


22/06/08
22
Нужно доказать, что не сущестыует предела функции \lim_{(x,y) \mapsto (0,0)} \frac{x-y}{x^2+y^2}

Достаточно ли написать, что если искать предел вдоль оси x тогда повторный препредел будет равен бесконечности \lim_{(x,0) \mapsto (0,0)} \frac{x}{x^2}=\infty и тогда двойной не существует?

И ещё можно ли решить так:
\lim_{(x,0) \mapsto (0,0)} \frac{x}{x^2}=\infty и \lim_{(0,y) \mapsto (0,0)} \frac{-y}{y^2}=-\infty
и тогда двойной не существует? Или одного условия достаточно?

Заранее большое спасибо!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.02.2009, 18:21 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Смотря что считать несуществованием предела. Если именно конечного предела, то первого, естественно, достаточно. А если надо доказать несуществования и бесконечного, то надо, да, минимум два направления. Вот как у Вас, например, а ещё надёжнее проследить за линией $y=x$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.02.2009, 18:38 


22/06/08
22
Спасибо за быстрый ответ! :) Написано найти предел если существует. Наверное лучше тогда решить вторым способом. А почему вдоль прямой x=y надежнее?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.02.2009, 18:46 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
потому, что можно предположить и такой вариант, когда существование $\lim |f(x,y)|=+\infty$ тоже считается допустимым. Ваши выкладки этого не опровергают (и, кстати, они неверно записаны: там в одном случае предел равен $\pm\infty$, в другом $\mp\infty$).

Конечно, такая ситуация в данном случае невозможна, но ведь это надо обосновывать, а оно нам надо? После сравнения же с прямой $y=x$ все вопросы отпадают.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.02.2009, 19:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Мой более чем тридцатилетний опыт преподавания математического анализа привёл меня к заключению, что целесообразно различать три символа бесконечности: проективную бесконечность $\infty$, которая соединяет оба конца числовой оси, и две аффинные бесконечности $+\infty$ и $-\infty$, которые находятся каждая на своём конце числовой оси (это, естественно, неформальное описание). Если выполняется одно из равенств
$$\lim\limits_{x\to a}f(x)=+\infty\text{ или }\lim\limits_{x\to a}f(x)=-\infty\text{,}$$
то мы можем написать также и $$\lim\limits_{x\to a}f(x)=\infty\text{,}$$
но, имея только одно последнее равенство, написать какое-нибудь из двух первых нет оснований.

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac 1x=\infty,\quad\lim\limits_{x\to 0^+}\frac 1x=+\infty,\quad\lim\limits_{x\to 0^-}\frac 1x=-\infty.$$

При таком подходе
$$\lim\limits_{\substack{x\to 0\\y=0}}\frac{x-y}{x^2+y^2}=\lim\limits_{\substack{y\to 0\\x=0}}\frac{x-y}{x^2+y^2}=\infty\text{,}$$
и у нас нет оснований утверждать, что предел
$$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x-y}{x^2+y^2}$$
не существует.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.02.2009, 19:34 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ну-ну, как это нет оснований, речь же шла о пределе по совокупности переменных.

И из Вашей третьей снизу цепочки формул уже следует, что предела нет, т.к. по некоторой последовательности предел будет равен нулю. Только это, как я уже говорил -- никому не нужный высший пилотаж...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.02.2009, 19:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
ewert в сообщении #183561 писал(а):
И из Вашей третьей снизу цепочки формул уже следует, что предела нет


Точно третья? Может быть, вторая?

ewert в сообщении #183561 писал(а):
предела нет, т.к. по некоторой последовательности предел будет равен нулю


Формально из неё не следует. Что вообще может следовать из того, что два частичных предела равны $\infty$? Может быть и искомый предел равен $\infty$. Вот когда Вы явно указали, что
$$\lim\limits_{\substack{x\to 0\\ y=x}}\frac{x-y}{x^2+y^2}=0\text{,}$$
то да, из сравнения этого частичного предела с предыдущим следует, что предел не существует.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.02.2009, 19:51 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Формально следует. Если по одному лучу предел равен плюс бесконечности, а по другому минус бесконечности, то на любой достаточно близкой к нулю дуге, соединяющей эти лучи, найдётся минимум одна точка, в которой функция обращается в ноль. Она ведь (функция) непрерывна везде, кроме начала координат...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.02.2009, 20:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
ewert в сообщении #183571 писал(а):
Если по одному лучу предел равен плюс бесконечности, а по другому минус бесконечности,


У меня не было никаких лучей, были пределы по прямым.
Ваше решение предполагает некие условия непрерывности, которые формально из равенства частичного предела чему-либо не следуют. Это в такой задаче чрезмерное усложнение. Первый Ваш вариант (по одной прямой частичный предел равен $\infty$, по другой - $0$, поэтому предел не существует) мне нравится гораздо больше.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.02.2009, 21:08 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Someone в сообщении #183591 писал(а):
мне нравится гораздо больше.

а я с самого начала не скрывал, что и мне тоже.

Впрочем, это уж какой-то совершенно ненужный трёп пошёл.

(хотя не удержусь от парфянства: коли были прямые -- значит, были и лучи)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.02.2009, 21:13 


22/06/08
22
Спасибо большое за подробный ответ!

Можно еще вопрос?
Ваше обозначение предел по прямой
x=y:

\lim_{x \mapsto 0, y=x}f(x,y) это то же самое что и повторный предел:

\lim_{x \mapsto 0} \lim_{y=x}f(x,y)?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.02.2009, 21:26 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Нет, к повторному пределу это не имеет никакого отношения. Предел по прямой (вообще, по линии) -- это предел функции одной переменной,которая получается подстановкой в функцию двух переменных уравнения линии. Предел ваще существует тогда и только тогда, когда он существует и одинаков по всем таким линиям.

(Естественно, имеются в виду пределы по линиям, стягивающимся к центру. А что такое "линия" -- так мне и говорить неохота, за занудством.)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.02.2009, 21:43 


22/06/08
22
Что-то совсем запуталась!
А через повторный предел нелзя доказывать.
Скажем, если я напишу
\lim_{x \mapsto 0} \lim_{y \mapsto 0} \frac{x-y}{x^2+y^2}=\infty
\lim_{x \mapsto 0} \lim_{y \mapsto x} \frac{x-y}{x^2+y^2}=0
Следовательно не сущестыует предела функции, так нельзя? :roll:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.02.2009, 21:55 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Так -- можно. Только внутренние пределы следует откровенно заменить на их значения. В первом случае Вы приближаетесь к центру фактически по горизонтальной прямой, во втором -- по биссектрисе координатного угла.

По существу можно. Ну а уж насколько это будет считаться корректным, и не потребуют ли начальники каких-то дополнительных заклинаний -- не знаю, это от Вашего начальства зависит.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.02.2009, 22:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2743
Физтех
В данном случае можно, потому что функция непрерывна относительно $y$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 48 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group