Верхняя граница для корней полинома

[LaraKroft]

Здравствуйте, помогите с таким заданием, второй день разрулить не могу

Положим $P\left( x \right) = {x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + \ldots + {a_{n - 1}}x + {a_n} \in \mathbb{C}\left[ x \right]$ и предположим, что $\forall k \leqslant n:{\text{ }}\left| {{a_k}} \right| \leqslant {k^2} - \frac{4}{3}k + 1$.
Докажите, что если $P\left( \alpha \right) = 0$, тогда $\left| \alpha \right| < 3$.

Буду благодарна за любую помощь!

[ewert]

Сделайте замену $t={1\over x}$. Надо доказать, что запрещены $|t|\leqslant{1\over3}$. Ну так и докажите, что

$$ \sum_{k=1}^n{k^2-{4\over3}k+1\over3^k}<1 \quad (\forall n)$$

(полная сумма ряда легко считается, и как раз единичке вроде бы и равна)

[LaraKroft]

Большое спасибо, ewert!

Пожалуйста, немного подробней, ряд я думаю посчитаю.

Ещё раз спасибо!

[ewert]

ну сделайте замену, умножьте на $t^n$, оставьте единичку в одной части уравнения, всё остальное перекиньте в другую и тупо оцените по модулю.

Всё, подробнее не могу -- подсказки закончились.