Прямая и плоскость

[Igor999]

Найти координаты точки P пересечения прямой

\[ l \]

и плоскости

\[ \pi \]

:

\[ \begin{gathered} l:\frac{{x - 5}} {1} = \frac{{y - 2}} {2} = \frac{{z - 4}} {3} \hfill \\ \pi <!-- s:x --><img src=\\

[Алексей К.]

Попробуйте воспользоваться параметрическим уравнением прямой $l$, которое можно получить из

$$\frac{{x - 5}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 4}}{3} = \mbox{\fbox{{\Large t}}}$$

.

[Igor999]

А так правильно?

\[ l:\left\{ \begin{gathered} x - 5 = t \hfill \\ y - 2 = 2t \hfill \\ z - 4 = 3t \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 5 + t \hfill \\ y = 2 + 2t \hfill \\ z = 4 + 3t \hfill \\ \end{gathered} \right. \]

[ShMaxG]

Igor999
Да, правильно. Теперь Вам надо найти значение параметра $t$ при котором точка этой прямой принадлежит заданной плоскости.

[Igor999]

Так правильно?

\[ \begin{gathered} 5 + t - 2 + 2t + 2(4 + 3t) - 6 = 0 \hfill \\ 5 + t - 2 + 2t + 8 + 6t - 6 = 0 \hfill \\ 9t = 5 \hfill \\ t = - \frac{5} {9} \hfill \\ \end{gathered} \]

[vvvv]

Проще так, сразу находим точку и не нужно переходить к параметрическому уравнению.

[gris]

Igor999, маленькая ошибка в знаке при подстановке $y$.

[Igor999]

При каком

\[ m \]

плоскость

\[ mx + 2y - z + 4 = 0 \]

и прямая

\[ \left\{ \begin{gathered} x = 3 + t \hfill \\ y = - 1 - t \hfill \\ z = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \]

будут параллельны?

[gris]

А как определяется в школе параллельность прямой и плоскости? Задача очень тесно связана с предыдущей.

[PAV]

Тема объединена с предыдущей

[мат-ламер]

Подставьте уравнение прямой в уравнение плоскости. При паралельности полученное уравнение не должно иметь решений.

[ewert]

если исходить из того, что задача похожа на предыдущую, то так тоже можно -- но уж очень это тупо. Надо просто сопоставить векторы, задающие направления прямой и плоскости (они фактически заданы), а возможное вложение прямой в плоскость отбраковать подстановкой в уравнение плоскости точки, лежащей на прямой (тоже фактически задана).

В общем, если предыдущая задача была чисто вычислительной, то эта -- по существу чисто геометрическая.

[gris]

Скалярное произведение всё равно придётся считать. И уравнение решать.

[ewert]

придётся-придётся. Задача ровно на это и расчитана -- на понимание геометрического смысла коэффициентов.

[vvvv]

Уравнение оказалось простым