Асимптотическое поведение суммы при измельчении разбиения

[Gortaur]

Подскажите, как быть с такой задачей:
1. $T_n=\{x_i\}_{i=0}^{n}$, где $0=x_0<x_1<...<x_n=1$;
2. $\sum\limits_{T_n}{|x_{i+1}-x_i|}=1$ (что очевидно следует из 1)
3. как себя поведет $\sum\limits_{T_n}{|x_{i+1}-x_i|^{\alpha}}$ при стремлении мелкости разбиения к 0 (т.е. $\mu(T_n):=\sup\limits_{T_n}(x_{i+1}-x_i)\rightarrow 0$).

[ewert]

$$\sum|x_{k+1}-x_k|^\alpha\leqslant\max\{|x_{k+1}-x_k|^{\alpha-1}\}\cdot\sum|x_{k+1}-x_k|$$

при $\alpha>1;$

$$\sum|x_{k+1}-x_k|^\alpha\geqslant\min\{|x_{k+1}-x_k|^{\alpha-1}\}\cdot\sum|x_{k+1}-x_k|=$$

$$=\left(\max\{|x_{k+1}-x_k|\}\right)^{\alpha-1}\cdot\sum|x_{k+1}-x_k|$$

при $\alpha<1.$

[Nilenbert]

У вас $n$ фиксированное или может меняться?

[Gortaur]

$n$ может меняться.
Из первой оценки следует, что сумма степеней будт стремиться к нулю, но о стремлении суммы во второй оценке не ясно ничего.

[ewert]

а если просто подключить здравый смысл? к чему по идее должна стремиться сумма во втором случае, и как это следует из второй оценки?

[Gortaur]

Сорри, не заметил...