1)
![$[\mathbb Q(\sqrt[3]{2})\colon\mathbb Q]=3$ $[\mathbb Q(\sqrt[3]{2})\colon\mathbb Q]=3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/e/d1ed7d1efd7b0d0f6378da3f3a09d38482.png)
, поскольку

неприводим и, следовательно, является минимальным для
![$\sqrt[3]{2}$ $\sqrt[3]{2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/d/e0db901a13e9b18861b1a7edb00bdf4a82.png)
.
2)
![$[\mathbb Q(\zeta_3)\colon\mathbb Q]=2$ $[\mathbb Q(\zeta_3)\colon\mathbb Q]=2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/2/2921958248948255e7c9dca60700011482.png)
, поскольку

неприводим и, следовательно, является минимальным для

.
3)
![$[\mathbb Q(\sqrt[3]{2},\,\zeta_3)\colon\mathbb Q(\sqrt[3]{2})]=2$ $[\mathbb Q(\sqrt[3]{2},\,\zeta_3)\colon\mathbb Q(\sqrt[3]{2})]=2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/3/2835fdff72b3632e3d582b22b4914dc882.png)
, поскольку степень этого расширения не может быть больше 2 (согласно пункту (2)) и не равна 1 (иначе
![$\zeta_3\in\mathbb Q(\sqrt[3]{2})\subseteq\mathbb R)$ $\zeta_3\in\mathbb Q(\sqrt[3]{2})\subseteq\mathbb R)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/0/2/c024347177cc9daf2c2f2e5f3c9c5a1482.png)
.
4) из пунктов (1) и (3) следует, что
![$[\mathbb Q(\sqrt[3]{2},\,\zeta_3)\colon\mathbb Q]=6$ $[\mathbb Q(\sqrt[3]{2},\,\zeta_3)\colon\mathbb Q]=6$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/5/4d51f540a731ea6c7989d22d885c59ae82.png)
. Группа Галуа этого расширения равна

.