матричные итерации

[ecartman]

Имеется следующая векторная последовательность p_{k+1}=Hp_k, где p_0=1 - вектор из всех единиц, а матрица H невырожденная с неотрицательными элементами и спектральным радиусом строго меньше единицы. Более того, матрица H еще и такова что каждый вектор p_k является невозрастающим вдоль свох компонент т.е. p_k(i)\ge p_k(i+1), где p_k(i) - i-ый компонент вектора p_k. Кроме того, каждый последющий вектор равномерно меньше предыдущего (по всем компонентам), т.е. p_{k+1}(i)<p_k(i) для всех i. Рассмотрим отношение \lambda_k=p_{k+1}/p_k, где деление в смысле поэлементно. Каждый компонент \lambda_k стремится к максимальному собственному значению матрицы H, но вот первый стремится (с ростом k) строго (монотонно) сверху т.е. \lambda_{k+1}(1)\le\lambda_k(1). Вопрос: как это показать (что именно строго сверху и что именно первый элемент, хотя второй тоже может стремиться сверху но интерес представляет имеено первый, и кстати не все элементы \lambda_k стемятся монотонно сверху)? Другими словами, нужно показать что p_k^2(1)\ge p_{k-1}(1) p_{k+1}(1) или в более слабой форме 2p_k(1)\ge p_{k-1}(1) +p_{k+1}(1), что было бы еще лучше. Буду признателен любой помощи.