Мера множества на прямой

[Gortaur]

Подскажите, как доказать. Есть отрезок $[0,1]$ и $G\subset [0,1]$, при этом:
1. $G$ открыто,
2. $G$ всюду плотно в $[0,1]$

Необходимо показать, что мера $G$ равна 1. Либо опровергнуть контрпримером.

[ewert]

Контрпример -- дополнение к канторову множеству. Точнее, к "квазиканторову", которое строится по той же схеме, но так, что суммарная длина выкидываемых интервалов меньше единицы.

[Gortaur]

если не сложно, опишите пожалуйста такой пример. У меня получается, что все квазиканторовы множества имеют меру нуль (учитывая, что их размерность Минковского меньше 1).

[Someone]

Ну, сначала выкиньте из середины отрезка $[0,1]$ интервал длины $10^{-1}$. Из середин двух получившихся отрезков выкиньте по интервалу длины $10^{-2}$. Из середин четырёх оставшихся отрезков выкиньте по интервалу длины $10^{-3}$. И так далее (я формально построение не описываю, сделайте сами). Сумма длин выкинутых интервалов равна

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^{k-1}}{10^k}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac 1{10\cdot 5^{k-1}}=\frac 18$$

(если не ошибся при суммировании геометрической прогрессии). Объединение выкинутых интервалов и даёт всюду плотное открытое множество, мера Лебега которого меньше $1$.

[ewert]

Т.е. пафос вот в чём. В "стандартном Канторе" на каждом шаге выкидывается по 1/3 от оставшегося: 1/3, 2/9, 4/27 и т.д. Если заменить здесь 1/3 на любую другую дробь, то ситуация, разумеется, не изменится; например:

$${1\over10}+{1\over10}{9\over10}+{1\over10}{9^2\over10^2}+\ldots=1.$$

Но ведь никто не запрещает сколь угодно ускорить убывание, потребовав, например, чтобы суммарная длина выкидываемых на каждом шаге центральных интервалов отвечала любой наперёд заданной геометрической прогрессии, вот например: 1.10, 2/100, 4/1000 и т.д., как у Someone. Или даже попросту: 1.10, 1/100, 1/1000 и т.д. "Нигде не плотность" оставшегося множества от этого никак не пострадает -- она определяется исключительно тем, что длины остающихся промежутков стремятся к нулю, а это в любом случае так (они убывают на каждом шаге более чем вдвое).